格子氣自動機
格子氣自動機或格子氣細胞自動機是一種用來模擬流體流動的細胞自動機。它是格子玻爾茲曼方法的前身。通過格子氣自動機的部分模型可以推導得出宏觀的納維－斯托克斯方程[1]。20世紀90年代初，格子玻爾茲曼方法開始興起[2]，對格子氣自動機方法的研究則趨緩了。
基本思想
[編輯]細胞自動機模型中，晶格格點具有有限的離散狀態。在格子氣自動機模型中，這些離散狀態用以表示具有不同速度的粒子。流體模擬在離散的時間序列中演進，在每個時間步長後，格點的狀態可由該時間步長前此格點與相鄰格點的狀態確定。
每個格點以一系列布爾值來描述給定位置上各速度方向是否有粒子存在。
每個時間步長的狀態演進都分為兩個階段，即遷移和碰撞。[3]
遷移：除非發生碰撞，每個粒子將沿它的速度方向向距離最近的格點移動，並維持該速度。泡利不相容原理還要求同一格點同一速度方向的粒子最多只能有一個。
碰撞：碰撞規則用於確定多個粒子到達同一格點時粒子的行為方式，並應滿足質量守恆與動量守恆。[4] 請注意，泡利不相容原理並不影響同一格點的兩個粒子以相反方向遷移。
HPP模型
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在1973年和1976年發表的論文中，Hardy，Pomeau和de Pazzis提出了首個格子氣自動機模型，後根據三位作者的名字命名為HPP模型。HPP模型是一個二維的流體粒子相互作用模型，其晶格為正方形，粒子以單位速度獨立運動。粒子可以移動至相鄰的四個晶格而不能沿對角方向移動。
發生對頭碰撞時，如一個向左移動的粒子與一個向右移動的粒子到達同一個格點，則兩個粒子的速度將分別旋轉90°離開該格點。[5]
HPP模型缺乏旋轉不變性，從而使模型具有高度各向異性。 例如，HPP模型產生的渦流是正方形的。[6]
FHP模型
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1986年，烏里爾·弗里施，布羅斯·哈斯拉徹和伊夫·波莫在論文中首次提出了以規則六邊形為晶格的二維格子氣自動機模型，即FHP模型。 在基本FHP模型（又稱FHP-I模型）中，流體粒子具有指向相鄰的6個晶格的6種離散速度，碰撞規則包括對頭二體碰撞和對稱三體碰撞；在此基礎上，FHP-II模型引入了代表粒子靜止的第七種速度，其碰撞規則相應增加了含靜止粒子的碰撞及非對稱三體碰撞；FHP-III模型更進一步引入了對稱四體碰撞，至此包括了能滿足質量和動量守恆的所有碰撞規則。[7] 碰撞次數的增加會增大雷諾數，因此與FHP-I模型相比，FHP-II和FHP-III模型可以模擬粘性更小的流體。[8]
與HPP模型不同，FHP模型中滿足質量、動量守恆的碰撞規則具有不確定性，部分碰撞類型會產生兩種結果，此情況下會隨機選擇其中一種，相應粒子也將依照兩種碰撞結果之一遷移。由於純計算方法不能生成隨機數，因此通常採用偽隨機算法。[9]
FHP模型比HPP模型具有更好的對稱性，但這一結論並不顯然。[10]
三維模型
[編輯]對於三維晶格，唯一能密鋪三維空間的規則多面體是立方體，而唯一能密鋪三維空間、具有足夠大對稱性（否則模型將具有和HPP模型類似的缺陷）的多胞形組合是十二面體和二十面體。因此，模擬三維流場需要增加晶格的維數，例如1986年D'Humières，Lallemand和Frisch提出的面心超立方體模型。[11]
宏觀動力學
[編輯]可以通過每個格點的粒子數來計算格點的密度，以對應單位速度加權求和即可獲得該位置的動量。[12]此計算過程會受到大量噪聲的影響，在模擬中應在較大區域內取均值以獲得更合理的結果。通常使用系綜平均進一步降低統計噪聲。[13]
優勢與不足
[編輯]格子氣自動機的主要優勢是只涉及布爾運算因此避免了捨入誤差，且作為細胞自動機具有天然的並行性。[14]
其不足之處在於缺乏伽利略不變性和隨機因素造成的統計噪聲。[15]另外，格子氣自動機難以直接擴展至三維情形，需要引入更高維度來維持足夠的對稱性。[11]
備註
[編輯]- ^ Succi, section 2.3 describes the process
- ^ Succi, section 2.6
- ^ Buick, section 3.4
- ^ Wolfram, Stephen, A New Kind of Science, Wolfram Media: 459–464, 2002, ISBN 1-57955-008-8.
- ^ Buick, section 3.2.1
- ^ Succi, footnote p. 22
- ^ Buick, section 3.2.2
- ^ Wolf-Gladrow 3.2.6, figure 3.2.3
- ^ Wolf-Gladrow 3.2.1
- ^ Succi, footnote p. 23
- ^ 11.0 11.1 Wolf-Gladrow, sections 3.4 - 3.5
- ^ Buick, section 3.5.1
- ^ Buick, section 3.8
- ^ Succi, section 2.4
- ^ Succi, section 2.5
參考文獻
[編輯]- Sauro Succi. The Lattice Boltzmann Equation, for fluid dynamics and beyond. Oxford Science Publications. 2001. ISBN 0-19-850398-9. (Chapter 2 is about lattice gas Cellular Automata)
- James Maxwell Buick (1997). Lattice Boltzmann Methods in Interfacial Wave Modelling. PhD Thesis, University of Edinburgh. (Chapter 3 is about the lattice gas model.) (archive.org) 2008-11-13
- Dieter A. Wolf-Gladrow. Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Springer. 2000. ISBN 3-540-66973-6.