拉薩爾不變集原理

拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治動力系統（可能是非線性系統）李雅普諾夫穩定性的判斷準則。

全域穩定性版本

考慮以下方程式的系統

${\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)$

其中$\mathbf {x}$為符合以下條件的變數向量

$f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .$

若可以找到$C^{1}$ 函數 $V(\mathbf {x} )$，使下式成立

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$針對所有$\mathbf {x}$（半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在${\mathcal {I}}$內， ${\mathcal {I}}$是其完整軌跡完全在$\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}$集合的聯集。

若$V$函數又有正定的性質，即

$V(\mathbf {x} )>0$，針對所有的$\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

$V(\mathbf {0} )=0$

而且${\mathcal {I}}$除了$\mathbf {x} (t)=\mathbf {0}$ for $t\geq 0$的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普諾夫穩定性。

再者，若$V$是徑向無界（radially unbounded）

當$\Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty$時，$V(\mathbf {x} )\to \infty$

原點為全域漸近穩定。

局部穩定性版本

若

$V(\mathbf {x} )>0$，當$\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$時

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$

當$\mathbf {x}$在原點的鄰域$D$內才成立，且集合

$\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D$

除了$\mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0$的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

和李雅普諾夫穩定性的關係

If ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普諾夫第二定理的結果。若${\dot {V}}(\mathbf {x} )$只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

例子：有摩擦力的單擺

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下^[1]：

$ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}$

其中$\theta$是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，$m$是單擺的質量，$k$是摩擦系數，g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

${\dot {x}}_{1}=x_{2}$

${\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}$

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近$x_{1}=x_{2}=0$，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義$V(x_{1},x_{2})$為

$V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}$

$V(x_{1},x_{2})$即為系統的能量^[2]。$V(x_{1},x_{2})$在原點附近，半徑$\pi$的開球體內為正定。計算其導數

${\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}$

可觀察到$V(0)={\dot {V}}(0)=0$。若${\dot {V}}<0$成立，可以依李雅普諾夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，${\dot {V}}\leq 0$及${\dot {V}}$只是半負定。不過，以下集合

$S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}$

也就是

$S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}$

除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 $t$, $x_{2}(t)=0$，則因為$x_{1}$必需小於$\pi$，則$\sin x_{1}\neq 0$且${\dot {x}}_{2}(t)\neq 0$。因此，軌跡不會停留在集合$S$內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當$t\rightarrow \infty$時，最後都會收斂到原點^[3]。

歷史

此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾（在RIAS）及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理^[4]。

相關條目

• 穩定性理論
• 李雅普諾夫穩定性

原始論文

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄語）. 
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科書

• LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961. 
• Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. （原始內容存檔於2019-04-30）. 
• Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始內容存檔於2012-06-26）. 
• Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8. 

教材

• 德克薩斯州農工大學不變集原理的講義（PDF）
• 北卡羅來納州立大學拉薩爾不變集原理的講義（PDF （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館））
• 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館））
• 麻省理工學院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館））
• 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDF）

參考資料

1. ^ Lecture notes on nonlinear control （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
2. ^ ibid.
3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.