拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換

拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換得名於皮埃爾-西蒙·拉普拉斯與湯姆斯·斯蒂爾吉斯，是與拉普拉斯變換相似的積分變換。對於實值函數，其是斯蒂爾吉斯量的拉普拉斯變換，但通常是為在巴拿赫空間中取值的函數定義的。它在許多數學領域中都有應用，如泛函分析和概率論。

實值函數

實值函數g的拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換由下列形式的勒貝格-斯蒂爾切斯積分給出：

$\int e^{-sx}\,dg(x)$

s為複數。與通常的拉普拉斯變換不同，根據積分域不同，得到的變換也不同。而且為了定義積分，還要要求g在積分域內有界變差。最常見的是

• 雙邊拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換：$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).$$
• 單邊拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換：$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).$$為確保變換能捕捉到{g(x)}在{x = 0}時可能出現的躍變，就像使狄拉克δ函數的拉普拉斯變換有意義一樣，極限是必要的。
• 更一般的變換可在複平面上對等值線進行積分得到；參見Zhavrid 2001。

純量值函數的拉普拉斯-斯蒂爾吉斯變換，由此可以定義為斯蒂爾切斯量度的拉普拉斯變換的特例。即

${\mathcal {L}}^{*}g={\mathcal {L}}(dg).$

特別是，它與通常的拉普拉斯變換有許多相同的性質。例如，卷積定理成立：

$\{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s).$

通常只考慮s的實部，不過如對給定實值s = σ，存在適當的勒貝格積分，則對於re(s) ≥ σ的所有複數s，積分也同樣存在。

拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換很自然地出現在下面的情形中。若X是累積分佈函數為F的隨機變量，則拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換可由期望給出：

$\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[e^{-sX}\right].$

因此，實值隨機變量累積分佈函數的拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換等於隨機變量的矩生成函數，只是參數的符號相反。

向量測度

實值函數的拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換是應用於相關斯蒂爾切斯量的拉普拉斯變換的特例，而傳統的拉普拉斯變換不能處理向量測度：在巴拿赫空間中取值的測度。然而，在偏微分方程、調和分析與概率論研究中出現的半群則非常重要。最重要的半群分別是熱傳導半群、黎曼-劉維爾半群和布朗運動及其他無限可分過程。

令g為[0,∞)到巴拿赫空間X的函數，在每個有限區間上都是強有界變差。這意味着，對於每個固定的子區間[0,T]都有

$\sup \sum _{i}\left\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\right\|_{X}<\infty$

其中，上確界取自[0,T]的所有部分

$0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T.$

關於向量測度dg的斯蒂爾切斯積分

$\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)$

定義為黎曼–斯蒂爾切斯積分。事實上，若π是區間[0,T]的有標部分，劃分為0 = t₀ ≤ t₁ ≤ ... ≤ t_n = T，分界點$\tau _{i}\in [t_{i},t_{i+1}]$與網格大小$|\pi |=\max \left|t_{i}-t_{i+1}\right|$，則黎曼-斯蒂爾切斯積分定義為極限值

$\lim _{|\pi |\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}e^{-s\tau _{i}}\left[g(t_{i+1})-g(t_{i})\right]$

取自X上的拓撲。強約束變化假設保證了收斂。

若在X的拓撲中，極限

$\lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)$

存在，則極限值就是g的拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換。

相關變換

拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換與很多積分變換密切相關，如傅里葉變換和拉普拉斯變換。特別注意：

• 若g可導，則g的拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換就是g'的拉普拉斯變換$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s),$$
• 可用以下方法得到g的'傅立葉–斯蒂爾切斯變換（根據上面的註釋，還可得到g的傅立葉變換）$$\{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(is),\qquad s\in \mathbb {R} .$$

概率分佈

若X是連續隨機變量，累積分佈函數為F(t)，則X矩的可用下式來計算

$\operatorname {E} [X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.$

指數分佈

對於比例參數為λ的指數分佈隨機變量Y，LST為

${\widetilde {Y}}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}F_{Y}\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {\lambda }{\lambda +s}}$

由此可算出前三階矩分別為1/λ、2/λ²、6/λ³。

愛爾朗分佈

對於符合愛爾朗分佈（即n個指數分佈之和）的Z，可以利用獨立隨機變量之和的概率分佈等於概率分佈的卷積這一事實。因此，若

$Z=Y_{1}+\cdots +Y_{n}$

其中Y_i互相獨立，則

${\widetilde {Z}}(s)={\widetilde {Y}}_{1}(s)\cdots {\widetilde {Y}}_{n}(s)$

因此若Z服從愛爾朗分佈，

${\widetilde {Z}}(s)=\left({\frac {\lambda }{\lambda +s}}\right)^{n}.$

均勻分佈

對於在(a,b)上服從均勻分佈的U，變換為

${\widetilde {U}}(s)=\int _{a}^{b}e^{-st}{\frac {1}{b-a}}dt={\frac {e^{-sa}-e^{-sb}}{s(b-a)}}.$

參考文獻

• Apostol, T.M., Mathematical Analysis 1st, Reading, MA: Addison-Wesley, 1957 ; 2nd ed (1974) ISBN 0-201-00288-4.
• Apostol, T.M., Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory 2nd, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-97127-0  含有內容需登入查看的頁面 (link).
• Grimmett, G.R.; Stirzaker, D.R., Probability and Random Processes 3rd, Oxford: Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857222-0 .
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S., Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1974, MR 0423094 .
• Zhavrid, N.S., Laplace transform, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .