從零開始的編號

從0開始編號或索引開頭為0是一種編號方式，其指一個序列的初始元素的索引被分配為0，即序列的編號從0開始，而非從1開始。在從零開始的編號方式下，序列中初始的元素有時會被稱為第零元素（一般稱為第一元素）。

某些情況下，不屬於該序列但可以放置在其之前的物件被稱為「第零元素」。使用零作為序數並未被廣泛接受，因為在缺乏上下文時，序列的所有後續元素會出現混淆。

儘管數學領域的編程語言通常從1開始編號，但從0開始編號的序列在數學符號中仍然是相當常見的，特別是在組合數學中。計算機科學中，一些現代編程語言（例如C語言）的陣列索引通常從0開始，與通常使用「第一」開始索引不同，編程人員可能會用「第零」開始。在數學中對於出現在「第一個」之前的元素，其序數形式有明確的定義時，使用從零開始的編號不會造成混淆；例如函數的第零階導數是進行零次微分獲得的，亦即函數本身。對應於不屬於該序列，但以這種命名法命名在其前面的元素，或不妥當：所謂「第零階」的導數實際並非導數。然而，正如一階導數在二階導數之前，因此第零階導數（或原始函數本身）也在一階導數之前。

編程

起源

計算機編程中列舉數據從零開始編號，主要起因於提供的機器指令，根據條件判斷，程式要能在指令序列之間「跳轉」，這是實作分支結構的關鍵。可用條件以判斷暫存器內容的「零」和「負」為主。最常用於實作迭代的指令譬如「遞減，如果到零就跳轉」。也就是說，任何可列舉的數據結構都在迭代中循環處理，而是否為零的條件判斷，用於控制這些循環的執行（不為零就一直在循環中）。高階編程語言的循環結構（如do-while，repeat-until，for-step-to...）是基於這些根本的機器指令。

BCPL編程語言（C編程語言的前身）的創建者，馬丁·理察德（Martin Richards）設計了陣列從0開始的索引方式，作為存取陣列開頭內容的自然位置，因為表示位址的指針p值，用於存取記憶體中的p+0位址；系統分析師Mike Hoye詢問Richards選用該慣例的原因。BCPL最初是用IBM 7094機器編譯的；它在編譯時會優化這些陣列索引提供的指針反參考運算（indirection）。

在1982年艾茲赫爾·戴克斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）寫了個相關的說明《為什麼編號應該從零開始》，將陣列索引的上下界以不等式連接，來分析各種設計方案，列舉出嚴格和標準不等式的四種可能組合，展示了他的確信，從零開始編號的陣列不會造成索引範圍重疊，是最好的表示方法，從零開始暗示與實數同樣的開，半開和閉區間。偏好這慣例的細節以空序列說明，它可以用更自然的（a≤i<a？）不等式來表示，相較於用閉合「區間」的（a≤i≤(a-1)？）不等式。而且以自然的半開「區間」不等式來看，子序列的長度等於上界減去下界（a≤i<b給出(b-a)的i可能值，其中的a，b，i都是自然數）。

編程語言用法

這種設計方案嵌入在許多具影響力的編程語言中，包括C，Java和Lisp。在這三種語言中，序列類型（C陣列，Java陣列和串列，Lisp串列和向量）以數字零為下標開始索引。特別是在C語言中，陣列與指針運算緊密相關，這使得一個更簡單的實現：下標的參考是從陣列起始位置的偏移，因此第一個元素的偏移量就是零。

幾乎所有計算機結構，都藉由位址和偏移量來表示直接引用內存，因此C語法的設計細節使編譯更容易，但代價是一些人工成本。這樣的情況下，使用「第零」作為序數並不是嚴明正確的，而是計算機業界的普遍慣例。其他編程語言如Fortran或COBOL，則有從一開始的陣列索引下標，因為它們意味着高階編程語言，因此它們必須與通常的序數相對應。一些最近的編程語言如Lua，由於同樣原因採用了相同的約定。

零是最低位的無符號整數值，是編程和硬件設計中最基本的類型之一。因此在計算機科學，零經常被當作許多種類的數值遞歸的基本情況。計算機科學中的證明和其他類型的數學推理通常從零這一數開始。由於這些原因，在計算機科學中，從零而非從一開始計數的方式並不少見，時有用例。

黑客和計算機科學家經常喜歡將出版品的第一章，如果其內容特重於介紹的概念，則稱為「第0章」。其中一個經典的例子是在K＆R的第一版。近年來在許多純數學家中也出現這種特徵，許多構造被定義為從0開始編號。

如果用陣列表示循環，則模除(modulo)函式即可便利地獲得索引，而這會導致結果為零。

數值屬性

使用從零開始的編號範圍表示為半開區間 $[0,n)$ ，不同於閉合區間 $[1,n]$ 。在演算法中經常發生的「空」範圍，很難以閉合區間[1,0]來表達。由於這個屬性，從零開始的索引潛在地減少了差一和柵欄錯誤。但另一方面，預先扣除掉重複的計數 $n$ ，使得從 $0$ 到 $n-1$ （包含）的表達較不直覺。有些作者更偏好從 $1$ 開始的索引，因為它直接對應了該項目在其它段落中的索引。

零索引慣例的另一個特性是在現代計算機中實作的模運算。通常，模函數將任何模 $N$ 映射到 $0,1,2,\dots ,N-1$ 中的一個數字，其中 $N\geq 1$ 。因此在算法（例如計算雜湊表索引）中的許多公式，當序列從零開始索引時，使用模運算可優雅地以代碼表示。如上文所提及位址/偏移量的底層邏輯，指針操作也能以零索引更優雅地表示。