小三角六邊形二十面體

小三角六邊形二十面體
類別	均勻多面體對偶; 星形多面體; 星形二十面體
對偶多面體	小雙三斜三十二面體
識別
名稱	小三角六邊形二十面體
參考索引	DU30, 2/59, W26
性質
面	20
邊	60
頂點	32
歐拉特徵數	F=20, E=60, V=32 （χ=-8）
虧格	5
組成與佈局
面的種類	20個等邊六邊形;
頂點佈局; （英語：Vertex_configuration）	兩種頂點; 5個六邊形的公共頂點; 3個六邊形的公共頂點
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
	等面、等邊
圖像
	; 小雙三斜三十二面體; （對偶多面體）
	; 小雙三斜三十二面體; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，小三角六邊形二十面體是一種星形二十面體^[1]^[2]，由20個等邊但不等角且互相相交的六邊形組成^[3]，其索引編號為DU₃₀。溫尼爾在他的書中列出28種星形多面體模型，並將小三角六邊形二十面體給予編號W₂₆^[4]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中，編號為2^[5]。

小三角六邊形二十面體的對偶多面體是一種均勻多面體，是由五角星和三角形組成的小雙三斜三十二面體。

性質

小三角六邊形二十面體由20個面、60條邊和32個頂點組成^[6]^[7]，每個面都是等邊六邊形，但不是正六邊形，每個六邊形彼此互相相交，其共存在兩種頂角，分別為5個六邊形的公共頂點和3個六邊形的公共頂點

作為一個星形多面體，其具有正二十面體的星狀核和五角化十二面體的凸包。

星狀圖（英語：Stellation diagram）	外觀	星狀核	凸包
		正二十面體	五角化十二面體

若作為凹多面體，即將原本互相相交的六邊形面去除隱沒部分其餘部分分為3個三角形，這種結構與星形三角化二十面體相同

星形三角化二十面體	小三角六邊形二十面體	三角化二十面體	正二十面體

小三角六邊形二十面體的頂點座標為^[8]：

(0,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}})

(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},0,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}})

(\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},0)

(\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},0)

(0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}})

(\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}})

小三角六邊形二十面體二面角為負三分之一的反餘弦值^[9]：

\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 1.9106\approx 109.4712^{\circ }

一個邊長為a的小三角六邊形二十面體，其表面積和體積為^[10]：

A=3{\sqrt {15}}a^{2}\approx 11.61895a^{2}

V={\frac {5+3{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\approx 2.92705a^{3}.

其中A代表表面積 $A=3{\sqrt {15}}a^{2}$ 約為11倍的邊長平方、V代表體積 $V={\frac {1}{4}}(5+3{\sqrt {5}})a^{3}$ 約為3倍的邊長立方。

Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8.
Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

^ Topological Small Triambic Icosahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2015-09-21）.
^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
^ Grünbaum, Branko. Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides? (PDF). digital.lib.washington.edu. 2008 [2021-07-19]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-07-19）.
^ Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
^ small triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2015-09-06）.
^ Small triambic icosahedron 3D model. craftsmanspace. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-08-10）.
^ Data of Small Triambic Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-09-01）.
^ Versi-Regular Polyhedra: Small Triambic Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Small Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. （原始（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）內容於2016-08-01）.
^ compound of small ditrigonal icosidodecahedron and small triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始內容存檔於2015-09-06）.