分治法

在電腦科學中，分治法（英語：Divide and conquer）是建基於多項分支遞歸的一種很重要的演算法範式。字面上的解釋是「分而治之」，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。

這個技巧是很多高效演算法的基礎，如排序演算法（合併排序、快速排序）、傅立葉變換（快速傅立葉變換）。

另一方面，理解及設計分治法演算法的能力需要一定時間去掌握。正如以歸納法去證明一個理論，為了使遞歸能夠推行，很多時候需要用一個較為概括或複雜的問題去取代原有問題。而且並沒有一個系統性的方法去適當地概括問題。

分治法這個名稱有時亦會用於將問題簡化為只有一個細問題的演算法，例如用於在已排序的列中尋找其中一項的折半搜尋演算法（或是在數值分析中類似的勘根演算法）。這些演算法比一般的分治演算法更能有效地執行。其中，假如演算法使用尾部遞歸的話，便能轉換成簡單的迴圈。但在這廣義之下，所有使用遞歸或迴圈的演算法均被視作「分治演算法」。因此，有些作者考慮「分治法」這個名稱應只用於每個有最少兩個子問題的演算法。而只有一個子問題的曾被建議使用減治法這個名稱。

分治演算法通常以數學歸納法來驗證。而它的計算成本則多數以解遞歸關係式來判定。

早期歷史上的先例

折半搜尋演算法——一個將原來問題連逐地拆細成大約一半大小的單一子問題的分治演算法——擁有一段悠長歴史。雖然演算法在計算機上的清楚描述出現在1946年約翰莫齊利（John Mauchly）的一篇文章裏，然而利用已排序的物件序列去加快搜尋的構想早已在公元前200年的巴比倫尼亞出現。另一個單一子問題的分治演算法是找出2個數的最大公因數的輾轉相除法（透過將數碼化小至使子問題變得簡單），於公元前數世紀已經出現。

一個早期有多個子問題的分治演算法是高斯在1805年描述關於快速傅立葉變換的演算法，儘管他沒有量化地分析它的操作數目，而快速傅立葉變換直至在一世紀之後被重新發現之前亦沒有廣泛流傳。這個演算法現在稱為庫利－圖基快速傅里葉變換演算法。

至於專門用於計算機之上而且正確地分析的分治演算法早期例子，則可以數到約翰·馮·諾伊曼於1945年發明的歸並排序。

另一個顯著的例子是Anatolii Alexeevitch Karatsuba於1960年發明在$O(n^{\log _{2}3})$步驟內將兩個n位數相乘的Karatsuba演算法。它反證了安德雷·柯爾莫哥洛夫於1956年認為這個乘法需要$\Omega (n^{2})$步驟的猜想。

高德納舉了一個最初並沒有涉及計算機的分治演算法例子，就是一般郵局用於分發信件的方法：信件在主要郵局根據不同的地理範圍而分到不同的袋裏，每個袋亦在運送到地區郵局時分到更小的袋裏，如是者直至信件被派發為止。這個方法與早於1929年的打孔卡排序機所用的基數排序相類同。

優勢

解決困難問題

分治演算法是一個解決複雜問題的好工具，它可以把問題分解成若干個子問題，把子問題逐個解決，再組合到一起形成大問題的答案。比如，漢諾塔問題如果採用分治演算法，可以把高度為n的塔的問題轉換成高度為n-1的塔來解決，如此重複，直至問題化簡到可以很容易的處理為止。

演算法效率

人們發現有很多效率很高的分治演算法，比如，Karatsuba快速乘法演算法、快速排序演算法和並列演算法、矩陣乘法的施特拉森演算法、快速傅里葉變換等。

實現

迴圈遞歸

在每一層遞歸上都有三個步驟：

1. 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相對獨立，與原問題形式相同的子問題。
2. 解決：若子問題規模較小且易於解決時，則直接解。否則，遞歸地解決各子問題。
3. 合併：將各子問題的解合併為原問題的解。

範例

分治法在高階語言中主要的一個思想是遞歸，LISP語言中的體現出了極豐富的分治法。

以下是合併排序C語言的範例代碼，輸入參數中，需要排序的陣列為array[],起始索引為first，終止索引為last。呼叫完成後，array[]中從first到last處於升序排列。

 void merge_sort(int array[], unsigned int first, unsigned int last)
 {
 	int mid = 0;
 	if(first<last)
 	{
 		mid = (first+last)/2;
 		merge_sort(array, first, mid);
 		merge_sort(array, mid+1,last);
 		merge(array,first,mid,last);
 	}
 }

在程式中可以看出分治法的應用：在merge_sort()中，將原來針對索引first到last的數組排序的問題，分為二份較小的問題

• 先針對索引first到mid的數組排序。
• 再針對索引mid+1到last的數組排序。

最後再進行二個數組的合併。

參見

• 分叉會合模型