LL剖析器

LL分析器是一種處理某些上下文無關文法的自頂向下分析器。因為它從左（Left）到右處理輸入，再對句型執行最左推導出語法樹（Left derivation，相對於LR分析器）。能以此方法分析的文法稱為LL 文法。

本文中將討論表格驅動的分析器，而非通常由手工打造（非絕對，參看如ANTLR等的 LL(*) 遞歸下降分析器生成器）的遞歸下降分析器。

一個 LL 分析器若被稱為 LL(k) 分析器，表示它使用 k 個詞法單元作向前探查。對於某個文法，若存在一個分析器可以在不用回溯法進行回溯的情況下處理該文法，則稱該文法為 LL(k) 文法。這些文法中，較嚴格的 LL(1) 文法相當受歡迎，因為它的分析器只需多看一個詞法單元就可以產生分析結果。那些需要很大的 k 才能產生分析結果的編程語言，在分析時的要求也比較高。

概覽

對於給定的上下文無關文法，分析器嘗試尋找該文法的最左推導。例如，給定一個文法$G$：

1. $S\to E$
2. $E\to (E+E)$
3. $E\to i$

對$w=((i+i)+i)$的最左推導如下：

$S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ (E+E)\ {\overset {(2)}{\Rightarrow }}\ ((E+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+E)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+E)\ {\overset {(3)}{\Rightarrow }}\ ((i+i)+i)$

通常, 選擇一條規則來展開給定的（最左的）非終結符時，有多個選擇的可能。前一個關於最左推導的例子中， 在第2步：

$S\ {\overset {(1)}{\Rightarrow }}\ E\ {\overset {(?)}{\Rightarrow }}\ ?$

我們有兩條規則可以選擇：

2. $E\to (E+E)$
3. $E\to i$

為了提高分析的效率，分析器必須能夠儘可能確切地、無回溯地進行規則的選擇。對於一些文法，它可以透過偷看不回推（即讀取之後不將它退回輸入流）的輸入符號來做到這點。在我們的例子中，如果分析器知道下一個無回推符號是 $($ ，那麼唯一正確可用的就是規則 2。

通常，$LL(k)$ 分析器可以向前探查 $k$ 個符號。然而，給定一個文法，若存在一個能識別該文法 $LL(k)$ 分析器，則其 $k$ 值的確定問題是不可判定的。也就是說，無法判定需要向前探查多少個符號才能識別它。對於每一個 $k$ 的取值，總存在無法被 $LL(k)$ 分析器識別的語言，而 $LL(k+1)$ 分析器卻可以識別它。

通過上述梗概，下面我們給出 $LL(k+1)$ 的形式化定義：

設 $G$ 是一個上下文無關文法，且 $k\geq 1$。對於任意兩個最左推導，當且僅當滿足下述條件時，我們稱 $G$ 是 $LL(k)$ 文法：

1. $S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\beta \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wx$
2. $S\ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wA\alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ w\gamma \alpha \ \Rightarrow \ \dots \ \Rightarrow \ wy$

以下條件成立：串 $x$ 中長度為 $k$ 的前綴等價於串 $y$ 中長度為 $k$ 的前綴，表明 $\beta \ =\ \gamma$.

在該定義中， $S$ 文法的開始符號， $A$ 是任意非終結符。之前取得的輸入 $w$，以及還沒回推的 $x$ 和 $y$ 均為終結符串。希臘字母 $\alpha$, $\beta$ 和 $\gamma$ 代表任意終結符和非終結符組成的串（也可能是空串）。前綴長度與用於保存向前探查結果的緩衝區尺寸一致，並且該定義表明了，緩衝區足以區分任意兩個不同單詞的推導。

本分析器可以處理特定形式文法的符號串。

本分析器由以下部件組成：

• 一個輸入緩衝區，存放輸入符號串（由語法建立的）。
• 一個分析棧，用於儲存等待處理的終結符與非終結符的。
• 一張分析表，標記了是否存在可用於目前分析棧與下一個輸入符號的語法規則。

分析器根據分析棧的棧頂符號（行）以及當前輸入流中的符號（列）來決定使用哪一條規則。

當分析器一開始執行時，分析棧中已經有兩個符號：

[ S, $ ]

'$'時一個特殊的終結符，用於表示分析棧的棧底或者輸入的結束；而'S'則時文法的開始符號。分析器會嘗試根據它在輸入流中看到的符號來改寫分析棧中的數據，但只會將仍需修改的數據存回分析棧中。

實際的例子

設定

為解釋LL剖析器的工作方式，我們創造了以下這個小語法：

1. S → F
2. S → ( S + F )
3. F → 1

並處理以下輸入：

( 1 + 1 )

這個語法的剖析表如下：

	（	）	1	+	$
S	2	-	1	-	-
F	-	-	3	-	-

（注意到有一列特殊終端符號，在這裡表示為$，是用來標示輸入結束的。）

剖析流程

剖析器先從輸入資料流中讀到第一個 '('，以及堆疊中的'S'。從表格中他發現必須套用規則 (2)；它必須將堆疊中的'S'重寫為 '( S + F )'，並將規則的號碼輸出。最後堆疊變成：

[ (, S, +, F, ), $ ]

再來它移除輸入及堆疊中的 '('：

[ S, +, F, ), $ ]

現在剖析器從輸入資料流中抓到一個'1'，所以他知道必須套用規則 (1)與規則 (3)，並將結果輸出。則堆疊變成：

[ F, +, F, ), $ ]
[ 1, +, F, ), $ ]

接下來的兩個步驟中，剖析器讀到'1'及 '+'，因為他們跟堆疊中的資料一樣，所以從堆疊中移除。最後堆疊剩下：

[ F, ), $ ]

再接著的三個步驟中，堆疊中的'F'會'1'被取代，而規則 (3)會被輸出。再來堆疊與輸入資料流中的'1'與')'都會被移除。而剖析器看到堆疊與輸入資料流都只剩下'$'的時候，就知道自己的事情做完了。

在這個例子中，剖析器接受了輸入資料，並產生以下輸出（規則的代號）：

[ 2, 1, 3, 3 ]

這的確是從輸入的左邊優先推導。我們可以看出由左至右的輸入順序為：

S → ( S + F ) → ( F + F ) → ( 1 + F ) → ( 1 + 1 )

備註

由以上範例可以看出剖析器根據堆疊最上層為非終端符號、終端符號、還是特殊符號$來決定採取三種不同的步驟：

• 若堆疊最上層為非終端符號，則根據輸入資料流中的符號對照剖析表，決定要用語法中的哪條規則來取代堆疊中的資料，順帶輸出規則的號碼。若表格中並沒有這麼個規則，則回報錯誤並終止執行。
• 若堆疊最上層為終端符號，則與輸入資料流中的符號比較。若相同則移除，若不同則回報錯誤並終止執行。
• 若堆疊最上層為'$'，並且輸入資料流中也是'$'，則表示剖析器成功的處理了輸入，否則將回報錯誤。不管怎樣，最後剖析器都將終止執行。

這些步驟會持續到輸入結束，然後剖析器成功處理了一則左邊優先推導，或者會回報錯誤。

建構LL(1)剖析表格

為了要填滿剖析表格，我們必須決定剖析器在堆疊看到非終端(nonterminal)符號A又在輸入資料流看到a的時候應該選用哪一條文法規則。我們可以輕鬆的發現到這種規則應該有A → w一類的格式，並且語言中的w應至少有一個字串由a開頭。為了這個目的，我們設定 第一個集合(first set)的w，記作Fi（w），表示可以在w中找到的所有字串的集合，如果空字串也屬於w的話還要再加上ε。而透過文法規則A₁ → w₁, ..., A_n → w_n，就可以使用以下方法演算每條規則的Fi(w_i)及Fi(A_i)了：

1. 將每個Fi(w_i)及Fi(A_i)初始成空集合
2. 將Fi(w_i)加入每條A_i → w_i規則中的Fi(A_i)，Fi定義如下：
   • 所有的a皆為終端符號時，Fi（a w' ）= { a }
   • Fi（A）不包含ε時，相對於每個非終端符號A，Fi（A w' ）= Fi（A）
   • Fi（A）包含ε時，相對於每個非終端符號A，Fi（A w' ）= Fi（A）\ { ε } ∪ Fi（w' ）
   • Fi(ε) = { ε }
3. 針對每條A_i → w_i規則，將Fi(w_i)加入Fi(Ai)
4. 重複步驟2與步驟3，直到所有Fi集合固定下來。

不幸的是，第一集合還不夠用來產生出剖析表。由於規則中右手邊的w可能無限制的被覆寫成空字串，所以剖析器也在ε位於Fi（w）並且輸入資料流中的符號可以符合A的時候套用A → w。所以還需要一個記作Fo（A）的A的跟隨集合(follow set)，表示可以由開始的符號衍生出αAaβ字串的終端符號a的集合。非終端符號的跟隨集合可以用以下方法得出：

1. 將每個Fo(A_i)初始成空集合
2. 若存在A_j → wA_iw' 格式的規則，則
   • 若終端符號a存在Fi（w' ）中，則將a加入Fo(A_i)
   • 若ε存在Fi（w' ）中，則將Fo(A_j)加入Fo(A_i)
3. 重複步驟2直到所有Fo集合固定下來

現在我們可以清楚定義每條規則要放在剖析表的哪裡了。若T[A,a]用以表示表格中代表非終端符號A及終端符號a的規則，則

T[A,a]包含A → w規則，若且唯若

a在Fi（w）之中，或

ε在Fi（w）之中，且a在Fo（A）之中。

若表格的每格中都僅包含一個規則，則剖析器總是知道該套用什麼規則，所以可在不用回溯的前提下剖析字串。在此情形下，這個語法可以稱為LL(1)語法。

建構LL(k)剖析表格

剖析表格可能（一般來說，在最差狀況下）必須有k次的指數複雜度的觀念在1992年左右PCCTS發表後改觀，它示範了許多程式語言可以用LL(k)來有效率的處理，而不會觸發剖析器的最差狀況。再者，在某些必須無限前瞻的狀況下，LL剖析也是合理的。相反的，傳統剖析器產生器，如yacc使用LALR(1)剖析表格建立被限制的LR剖析器，這種剖析器只能向後看固定的一個語彙符號。

參見

• 編譯器剖析器比較表
• 抽象語法樹
• 由上而下剖析
• 由下而上剖析

外部連結

• An easy explanation of First and Follow Sets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（使用一種比c較直觀的方法解釋產生First與Follow集合的過程）
• A tutorial on implementing LL(1) parsers in C#