自然數的集合論定義

已經提出了多種使用集合論定義自然數的方式。

當代標準

在 ZFC 和有關理論中，自然數的集合論定義是約翰·馮·諾伊曼的序數定義:

定義空集為零。
定義 n 的後繼為 n ∪ {n}

無窮公理接着確保所有自然數的集合 N 存在。容易證明上述定義滿足皮亞諾算術公理。它也有一個特別的性質（在其他定義中不一定如此），就是每個自然數 n 都是恰好含 n 個元素的集合，即{0,1,2,...,n-1}。

最老的定義

弗雷格（和伯蘭特·羅素獨立的）提議了如下定義。非形式的，每個自然數 n 被定義為其每個成員都有 n 個元素的集合。更形式的說，一個自然數是在等勢的關係下的所有集合的等價類。這看起來是循環定義其實不是。

更加形式的說，首先定義 0 為 $\{\emptyset \}$ （這是其唯一元素是空集的集合）。接着給定任何集合 A，定義:

\sigma (A)

為

\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}

。

σ(A) 是通過向 A 的所有成員 x 增加一個新元素而獲得的集合。 $\sigma$ 是後繼函數的集合論運算實現（operationalization）。有了函數 σ ，就可以說 1 = $\sigma (0),$ 2 = $\sigma (1)$ , 3 = $\sigma (2)$ ，以此類推。這個定義有預期的效果：我們所定義的 3 實際上是其成員都有三個元素的集合。

如果全集 V 有有限勢 n，則 $n+1=\sigma (V)=\emptyset$ , $\sigma (\emptyset )=\emptyset$ ，自然數的序列就此終結。所以如果 Frege-Russell 自然數要滿足皮亞諾公理，所用到的公理化集合論必須包括無窮公理。自然數的集合可以被定義為包含 0 並閉合在 σ 下的所有集合的交集。

在樸素集合論、類型論和根源於類型論的集合論如新基礎集合論和相關系統中，這個定義是可行的。但是它在公理化集合論 ZFC 和相關系統中不可行，因為在這種系統中在等勢下的等價類作為集合而言太大了。這是由於羅素悖論的原因，在 ZFC 中沒有全集 V。

Hatcher（1982）從一些基礎系統，包括 ZFC 和範疇論推導出了皮亞諾公理。他也從弗雷格的 Grundgesetze 系統出發，使用現代符號和自然演繹謹慎的推導出這些公理。當然，羅素悖論證明了這個系統是不自恰的，但是 George Boolos（1998）和 Anderson 與 Zalta（2004）展示了如何修補它。

參見

引用

Anderson, D. J., and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33: 1-26.
George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic.
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. In this text, S refers to the Peano axioms.
Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

外部連結

Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Quine's New Foundations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
Randall Holmes: New Foundations Home Page. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）