歐幾里得距離

利用勾股定理計算二維歐幾里得距離

在數學中，歐幾里得空間中兩點之間的歐幾里得距離是指連接這兩點的線段的長度。通過使用勾股定理，可以根據點的笛卡爾坐標計算這個距離，因此有時也被稱為勾股距離。這些名稱來源於古希臘數學家歐幾里得和畢達哥拉斯，儘管歐幾里得並沒有用數字表示距離，而且直到18世紀才將勾股定理與距離計算聯繫起來。

通常將兩個非點狀物體之間的距離定義為它們之間點對之間的最短距離。已知可以計算不同類型物體之間的距離的公式，例如點到直線的距離。在高級數學中，距離的概念已經推廣到抽象度量空間，而且還研究了除歐幾里得距離以外的其他距離。在統計學和優化的某些應用中，有時會使用歐幾里得距離的平方而不是距離本身。

使用這個距離，歐氏空間成為度量空間。相關聯的範數稱為歐幾里得範數。較早的文獻稱之為畢達哥拉斯度量。

定義

在歐幾里得空間中，點x =(x₁,...,x_n)和 y =(y₁,...,y_n)之間的歐氏距離為

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}$

向量${\vec {x}}$的自然長度，即該點到原點的距離為

$\|{\vec {x}}\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$

它是一個純數值。在歐幾里得度量下，兩點之間線段最短。

參考文獻

• Deza, Elena; Deza, Michel Marie. Encyclopedia of Distances. Springer. 2009: 94. 
• Cluster analysis. March 2, 2011 [2015-04-29]. （原始內容存檔於2015-05-01）.