抽象解析數論 （abstract analytic number theory）是數學的一個分支，把傳統的解析數論 的觀點和方法應用於各種不同的數學領域中。以經典的素數定理 為原型，重點關注抽象漸進分布的結果。該理論由數學家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。
該理論涉及到一個基本概念，算術半群 ，是滿足以下性質的交換幺半群 G：
G有一個可數子集P，使得G中的每個元素
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
a
=
p
1
α
1
p
2
α
2
⋯
p
r
α
r
{\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
素元 （prime）。
存在G上的實值映射
|
⋅
|
:
G
→
R
{\displaystyle |\cdot |:G\to \mathbb {R} }
範數 （norm），使得
|
1
|
=
1
{\displaystyle |1|=1}
對任意
p
∈
P
{\displaystyle p\in P}
|
p
|
>
1
{\displaystyle |p|>1}
對任意
a
,
b
∈
G
{\displaystyle a,b\in G}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a||b|}
對任意實數
x
>
0
{\displaystyle x>0}
N
G
(
x
)
=
#
{
a
∈
G
:
|
a
|
≤
x
}
{\displaystyle N_{G}(x)=\#\{a\in G:|a|\leq x\}}
若算術半群的底部幺半群G是自由的，則稱為加法數系 （additive number system）。
若範數是整數值的，則可以在G上定義計數函數
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
A
(
x
)
=
∑
n
a
(
n
)
x
n
,
P
(
x
)
=
∑
n
p
(
n
)
x
n
{\displaystyle A(x)=\sum _{n}{a(n)x^{n}},\quad P(x)=\sum _{n}{p(n)x^{n}}}
形式冪級數 。可得基本恆等式
A
(
x
)
=
∏
n
(
1
−
x
n
)
−
p
(
n
)
{\displaystyle A(x)=\prod _{n}{(1-x^{n})^{-p(n)}}}
G的收斂半徑 定義為冪級數A(x)的收斂半徑 。
基本恆等式還有另一種形式
A
(
x
)
=
exp
(
∑
m
≥
1
P
(
x
m
)
m
)
{\displaystyle A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)}
算術半群的原型是正整數的乘法半群
Z
+
=
{
1
,
2
,
3
,
⋯
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\cdots \}}
P
=
{
2
,
3
,
5
,
⋯
}
{\displaystyle P=\{2,3,5,\cdots \}}
|
n
|
=
n
{\displaystyle |n|=n}
N
G
(
x
)
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }
設K是一個代數數域 ，即有理數域
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
O
K
{\displaystyle O_{K}}
O
K
{\displaystyle O_{K}}
O
K
{\displaystyle O_{K}}
I
{\displaystyle I}
O
K
/
I
{\displaystyle O_{K}/I}
蘭道素理想定理
O
K
{\displaystyle O_{K}}
算術函數 與ζ函數的用處十分廣泛。可以將傳統的解析數論中算術函數與ζ函數的各種方法和技巧，推廣到任意的算術半群上（可能還要滿足幾個附加的公理）。例如下面公理：
A公理 ：存在正數A與
δ
{\displaystyle \delta }
ν
(
0
≤
ν
<
δ
)
{\displaystyle \nu \ (0\leq \nu <\delta )}
N
G
(
x
)
=
A
x
δ
+
O
(
x
ν
)
,
x
→
∞
{\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }),\ x\to \infty }
對任何滿足A公理的算術半群，有以下抽象素數定理 ：
π
G
(
x
)
∼
x
δ
δ
log
x
,
x
→
∞
{\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log {x}}},\ x\to \infty }
其中
π
G
(
x
)
{\displaystyle \pi _{G}(x)}
|
p
|
≤
x
{\displaystyle |p|\leq x}
Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws . Mathematical Surveys and Monographs. 86 . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 97 . p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001. 
