內切圓

三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心

在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是所謂的多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。

一個多邊形至多有一個內切圓，也就是說對於一個多邊形，它的內切圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。

三角形的內切圓

任何三角形$ABC$都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般標記為I，是三角形內角平分線的交點。在三線坐標，內心是1:1:1。

性質

內切圓的半徑為${\frac {2\triangle }{a+b+c}}$，當中$\triangle$表示三角形的面積，a、b、c為三角形的三個邊長。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形$T_{A}T_{B}T_{C}$是$ABC$的內接三角形之一。$ABC$的內切圓就是$T_{A}T_{B}T_{C}$的外接圓。而$AT_{A}$、$BT_{B}$和$CT_{C}$三線交於一點，它們的交點就是熱爾崗點（Gergonne point）。內切圓與九點圓相切，切點稱作費爾巴哈點（見九點圓）。

若以三角形的內切圓為反演圓進行反演，則三角形的三條邊和外接圓會分別變為半徑相等的四個圓（半徑都等於內切圓半徑的一半）。

三角形的外接圓半徑R、內切圓半徑r 以及內外心間距OI 之間有如下關係：

$R^{2}-OI^{2}=2Rr$

直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑

$a+b=c+2r$

由此性質再加上勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，可推得：

$\triangle =r(r+c)$

在直角座標系中，若頂點的座標分別為$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$、$(x_{3},y_{3})$，則內心的座標為：

$({\frac {ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})$

四邊形的內切圓

不是所有的四邊形都有內切圓，擁有內切圓的四邊形稱為圓外切四邊形。凸四邊形ABCD有內切圓當且僅當兩對對邊之和相等：$AB+CD=AD+BC$，此命題稱為皮托定理。圓外切四邊形的面積和內切圓半徑的關係為： $S_{ABCD}=rs$，其中s 為半周長。

同時擁有內切圓和外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。這樣的四邊形有無限多個。若一個四邊形為雙心四邊形，那麼其內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直。而只要在一個圓上選取兩條相互垂直的弦，並過相應的頂點做切線，就能得到一個雙心四邊形。

正多邊形的內切圓

正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。邊長為a 的正多邊形的內切圓半徑為：

$r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

其內切圓的面積為：

$s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)$

內切圓面積$s_{n}$與正多邊形的面積$S_{n}$之比為：

$\varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

故此，當正多邊形的邊數$n$趨向無窮時，

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1$

參見

• 旁切圓
• 外接圓
• 九點圓
• 內切球
• 雞爪定理——三角形內心、旁心、頂點的位置關係
• 偽內切圓——與三角形兩邊及外接圓相切的圓