西尔维斯特-高洛伊定理

匈牙利语人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。

西尔维斯特–高洛伊定理（Sylvester–Gallai theorem）说明若在平面上有有限数目的点，点的数目多于2，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。（等价于若平面内所有点不全共线，则必有一条直线恰好过两点。）

这个定理在无限点的情况并不成立，可以考虑格点 ${\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }$ 。

证明

在平面上有有限多点，若它们都共线，那我们就找到想要的东西；若非，定义一条“连线”为一条连起来至少有两点的线。设I为一条连线，因为不是所有点都共线，至少有一点P不属于I。
若I不是有刚好两点，I便至少有三点，称为A,B,C。不失一般性，设B在A和C之间，因为 $\angle ABP+\angle CBP=\pi$ ，所以两只角不可能同时是钝角。不失一般性设 $\angle ABP$ 不是钝角，而是锐角或直角。
设连结C和P的线为m，m是不包括B的连线，而且B和m的距离比P和I的距离小。
以B和m取代第二步的P和I。这个动作不可能无穷次重复，因为若能无穷次重复，连线和某一不在连线上的点距离便会得出一个无穷递降的序列，但只有有限个点和有限条连线，这是不可能的。因此，至少有一条线刚好有两点。

这个定理说明了在所有点至少有一条线有刚好两点。在甚么情况下，只有一条线有刚好两点呢？没有的这样的例子。Dirac猜想在平面上若有n点，则有至少有n/2条线有刚好两点。^[1]

可惜这个猜想是不对的。但截至2006年，已知有两个反例：

一个等边三角形的三个顶点、各边的中点和三角形中心，共有7点，但只有三条线有刚好两点。
两个大小相等的正五边形，其中一边重叠。取这两个五边形的所有顶点（8点），加上重叠边的中点（1点），再加上取四组平行线上的无限远点（4点）。该四组平行线分别是跟重叠边成0°、90°、+36°和-36°的。在经过这13点的线中，只有6条线有刚好两点。^[2]

虽然Dirac的猜想不对，但有较弱的结果：在n点中，至少有 $\lceil {\frac {6n}{13}}\rceil$ 条线刚好有两点通过。^[3]

Beck定理则说明了，存在常数C,K，使以下其中一个论述为真：

1893年，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将此问题提出^[4]。艾狄胥·帕尔也曾在1943年独立提出这个定理。^[5]1944年高洛伊·蒂博尔（英语：Tibor Gallai）发表了证明^[6]。不过，1940年E. Melchior已证明了。^[7]

^ Dirac, G. Collinearity properties of sets of points. Quart. J. Math. 1951, 2: 221–227.
^ Crowe, D. W.; McKee, T. A. Sylvester's problem on collinear points. Mathematics Magazine. 1968, 41 (1): 30–34 [2016-05-02]. （原始内容存档于2016-10-05）.
^ Csima, J.; Sawyer, E. There exist 6n/13 ordinary points. Discrete & Computational Geometry. 1993, 9: 187–202. doi:10.1007/BF02189318.
^ Sylvester, J. J. Mathematical question 11851. Educational Times. 1893, 59: 98.
^ Erdős, P. Problem 4065. American Mathematical Monthly. 1943, 50: 65 [2016-05-02]. （原始内容存档于2019-12-20）.
^ Steinberg, R.; Buck, R. C.; Grünwald, T. (Tibor Gallai); Steenrod, N. E. Three point collinearity (solution to problem 4065). American Mathematical Monthly. 1944, 51: 169–171 [2016-05-02]. （原始内容存档于2019-12-10）.
^ Melchior, E. Über Vielseite der projektiven Ebene. Deutsche Math. 1940, 5: 461–475.

Borwein, P.; Moser, W. O. J. A survey of Sylvester's problem and its generalizations. Aequationes Mathematicae. 1990, 40 (1): 111–135. doi:10.1007/BF02112289.
Kelly, L. M.; Moser, W. O. J. On the number of ordinary lines determined by n points. Canad. J. Math. 1958, 10: 210–219.
Mukhopadhyay, A.; Agrawal, A.; Hosabettu, R. M. On the ordinary line problem in computational geometry. Nordic Journal of Computing. 1997, 4 (4): 330–341.