纽结多项式
在纽结理论中，扭结多项式指的是一类以多项式表达的纽结不变量（knot invariant），而此类多项式的系数则表示它所代表的纽结的一些性质。
历史
[编辑]第一个已知的纽结多项式，也就是所谓的亚历山大多项式，是由詹姆斯·韦德尔·亚历山大在1923年引进的，但其他的纽结多项式却一直都没找到，直到近六十年后。
在1960年代，约翰·何顿·康威找出了一个对于亚历山大多项式的某版本的纠结关系（skein relation），这又被称为所谓的康威─亚历山大多项式。纠结关系的重要性直到1980年代前期沃恩‧锺斯发现锺斯多项式前都未被理解。这导致了更多纽结多项式的发现，如所谓的HOMFLY多项式。
锺斯发现该多项式不久后，路易‧考夫曼（Louis Kauffman）便注意到说锺斯多项式可借由配分函数（即泛函积分或状态和模型、state-sum model）来计算，这牵涉到所谓的括号多项式，该多项式为框多项式（framed knot）的一个不变量。这开启了连结纽结理论和统计力学间关系的研究。
在1980年代晚期，这方面有两个重要的突破。爱德华·威滕指出了锺斯多项式及相似的锺斯式不变量，有个以陈─西蒙斯理论（陈-西蒙斯理论）进行解释的方法。维克托‧瓦西里耶夫（Viktor Vassiliev）和米哈伊尔‧高萨罗夫（Mikhail Goussarov）则开始了纽结的有限类不变量（finite type invariant）的理论。
近年来，亚历山大多项式已被证明与弗洛尔同调（Floer homology）相关。
陈-西蒙斯理论
[编辑]三维的陈-西蒙斯理论生成很多重要的纽结多项式和纽结不变量：[1]
| 陈西规范群G | 纽结多项式或不变量 |
|---|---|
| SO(N) | 考夫曼多项式 |
| SU(N) | HOMFLY多项式 |
| SU(2)或SO(3) | 锺斯多项式（跟括号多项式有关） |
| U(1) | 环绕数 |
相关书目
[编辑]- Colin Adams, The Knot Book, American Mathematical Society, ISBN 0-8050-7380-9
- W. B. R. Lickorish, An introduction to knot theory. Graduate Texts in Mathematics, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-98254-X
参见
[编辑]特定的纽结多项式
[编辑]相关主题
[编辑]- 纠结关系（skein relation）
参考文献
[编辑]- ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 （英语）.
