扭棱十二面体

扭棱十二面体图
扭棱十二面体图
	5阶对称性
顶点	60
边	150
自同构群	60
属性	哈密顿、正则
	查; 论; 编;

扭棱十二面体
	; （单击查看旋转模型）
类别	阿基米德立体、半正多面体
对偶多面体	五角六十面体
识别
名称	扭棱十二面体
参考索引	U29, C32, W18
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snid
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	sr{5,3} 或 \|- !style="background-color:#e7dcc3"\| \|\| ht0,1,2{5,3}
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	\| 2 3 5
康威表示法	sD
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
二面角	3-3: 164°10′31″ (164.18°); 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
组成与布局
面的种类	正三角形; 正五边形
面的布局; （英语：Face configuration）	(20+60){3}+12{5}
顶点图	3.3.3.3.5
对称性
对称群	I, 1/2H3, [5,3]+, (532), order 60
旋转对称群; （英语：Rotation_groups）	I, [5,3]+, (532), order 60
特性
	半正、凸、手性（英语：Chirality (mathematics)）
图像
; 扭棱十二面体; 及其手性镜像	; 3.3.3.3.5; （顶点图）
; 五角六十面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，扭棱十二面体是一种半正多面体，由正三角形和正五边形组成^[2]，由于其具有点可递的性质，因此属于阿基米德立体^[3]，也是面数最多的阿基米德立体^[4]，其对偶多面体为五角六十面体^[5]^[6]^[7]。

命名

这个形状最早是由克普勒以拉丁文命名的，当时克普勒给出的名称为dodecahedron simum^[8]^[9]，该名称记载于1619的《世界的和谐》。考克斯特利用扭棱十二面体不仅可以由正十二面体扭棱而成，同时也可以用正二十面体扭棱而成，因此称其为扭棱十二・二十面体（snub icosidodecahedron）或扭棱截十二面体^[10]。其两种手性镜像中，左旋称为laevo^[11]、右旋称为dextro^[5]。

性质

扭棱十二面体是一种阿基米德立体，为正十二面体（或正二十面体）透过扭棱变换后的结果，在施莱夫利符号中可以用 $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$ ^[12]或sr{5,3}表示。其具有两个不同的手性几何结构，两者互为镜像^[13]，互相组合后可以形成均匀复合体称为二复合扭棱十二面体（英语：Compound of two snub dodecahedra），其凸包为大斜方截半二十面体^[14]。

构成元素

扭棱十二面体由92个面^[15]、60个顶点和150条边组成^[16]，在其92个面中有80个正三角形和12个正五边形^[17]^[18]；60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形和1个正五边形的公共顶点，在顶点图中可以用5.3.3.3.3来表示^[19]；150条棱中有60条棱是三角形和五边形的公共棱、90条棱是三角形和三角形的公共棱。

体积与表面积

若扭棱十二面体边长为1，则其表面积为：

A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15

体积为：

V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36

其中 $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 为黄金分割率，而 $\xi$ 是三次方程式 $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0$ 的唯一实数解，换言之 $\xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}$ ，其值约为 $\xi \approx 0.94315125924$ 。

二面角

扭棱十二面体有2种二面角，一种是正三角形与正三角形交角，另一种是正三角形与正五边形交角。其中正三角形与正三角形交角角度约为164.175度^[11]^[16]：

\arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }

而正三角形与正五边形交角的角度约为152.9299度^[11]^[16]：

\arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }

其中 $\varphi$ 、 $\xi$ 定义如上。

顶点座标

座标值
其中， $x$ 与 $\varphi$ 的定义同#二面角章节 $C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}$ $C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}$ $C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}$ $C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}$ $C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}$ $C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}$ $C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}$ $C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}$ $C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}$ $C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}$ $C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}$ $C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}$ $C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}$ $C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}$ $C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}$

若一扭棱十二面体边长为一，且质心位于原点，则其顶点座标为下列式子的偶置换：

$\left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)$ ，且偶数加上正号
$\left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)$ ，且奇数加上正号，左旋与右旋则为y座标相反^[20]^[21]。

正交投影

扭棱十二面体有3个特殊的正交投影^[2]，分别为于面上投影（两种）和于棱上投影（一种），其中“在正三角形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[22]。

正交投影
投影于	正三角形面	正五边形面	棱
立体图
骨架图
投影对称性	[3]	[5]⁺	[2]
对偶投影

几何关联

正十二面体、小斜方截半二十面体以及扭棱十二面体

扭棱十二面体可以透过将正十二面体的正五边形面往外拉，直到完全不接触后，原本的顶点位置填入三角形，剩下的部分用三角形补满来构造。而将正十二面体往外拉时，在某个适当的位置时，原本正五边形与正五边形的公共棱的位置则可以摆上正方形，此时则会构成小斜方截半二十面体^[23]。

均匀交错变换的大斜方截半二十面体

而要产生扭棱的形式则需要在将正五边形面往外拉时稍微有一点旋转，并只用三角形填满空隙，而五边形旋转的方向不同可以产生手性镜像^[24]。

扭棱十二面体也可以经由大斜方截半二十面体透过交错变换来构造，但构造出的扭棱十二面体并非所有面都是正多边形，其结果称为截角大斜方截半二十面体，其与扭棱十二面体有著相同的拓朴结构。