张量 (内蕴定义)

在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free（英语：component-free））方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。

在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义

给定域 $F$ 上一个有限向量空间集合 $\left\{V_{1},...,V_{n}\right\}$ ，我们可以考虑他们的张量积 $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}$ 。这个张量积中的一个元素称为一个张量（但这不是本文讨论的张量概念）。

向量空间 $V$ 上的张量定义成具有形式

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}

的向量空间中的一个元素（即向量），这里 V* 是 V 的对偶空间。

如果在我们的积中有 $m$ 个 $V$ 与 $n$ 个 $V^{*}$ ，张量称为 $\left(m,n\right)$ 型，具有反变（contravariant）阶数 $m$ 与共变（covariant，也称协变）阶数 $n$ ，总阶数为 $m+n$ 。零阶张量就是数量（域 $F$ 中的元素），1 阶反边张量是 $V$ 中的向量，1 阶共变张量是 $V^{*}$ 中的1-形式（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。

$\left(1,1\right)$ 型张量

V\otimes V^{*}

自然同构于从 $V$ 到 $V$ 的线性变换空间。一个实向量空间 $V$ 的内积自然对应于 $\left(0,2\right)$ 张量

V^{*}\otimes V^{*}

称为相应的度量，一般记作 $g$ 。

其它记法

文献中通常不写出完整的张量积以表示 $\left(m,n\right)$ 型张量的空间，而使用缩写：

{\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.

这个空间的另外一种记法是用从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的线性映射来表示。让

L(V,W)\

表示所有从 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合，这会形成一个向量空间。因此，例如对偶空间（线性泛函的空间）可以写成

V^{*}\cong L(V,\mathbb {R} );

由 universal property 可知，(m,n)-张量有如下自然的同构(isomorphism)关系

T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).

在上面的公式中， $V$ 和 $V^{*}$ 的角色互换了。特别地，我们有

T_{0}^{1}(V)\cong L(V^{*},\mathbb {R} )\cong V,

与

T_{1}^{0}(V)\cong L(V,\mathbb {R} )\cong V^{*},

以及

T_{1}^{1}(V)\cong L(V,V).

以下记法

GL(V,W)\

通常用来表示从 V 到 W 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

张量场

微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

张量在不同座标间的变换公式

对任何给定向量空间 $V$ 我们有 $V$ 的一组基底 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ，以及对应的对偶空间 $V^{*}$ 以及和向量基底 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ 对应的对偶基底 $\{\omega ^{j}\}$ （也可用 $\{\mathbf {e} ^{*j}\}$ 来表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟馀向量(covector)或是向量跟馀向量的系数的分别。

例如，取空间

V\otimes V\otimes V^{*}

中的张量 $\mathbf {T}$ ，在我们的坐标系下分量可写成

\mathbf {T} =T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k},

这里我们使用爱因斯坦求和约定，这是处理张量份量的一种常见约定：即当张量分量同时出现了一组上指标与下指标时，我们对这上下指标所有可能值求和，比如说： $a_{i}dx^{i}$ 这符号，在这约定下即代表 $\textstyle \sum _{i}a_{i}dx^{i}$ 。也就是说在在爱因斯坦求和约定下我们有 $\textstyle T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}=\sum _{ijk}T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}$ 。在物理中我们经常使用表达式

T^{ij}{}_{k}\

来表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个 $n\times n\times n$ 数组。假设在另一坐标系中，有另一组基底 $\{\mathbf {\hat {e}} _{i}\}$ ，则对同一向量来说两组基底对应的分量将会不同。如果 $(R_{i}^{j})$ 是两基底间的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是