幸运数

幸运数是经由类似埃拉托斯特尼筛法的演算法后留下的整数集合。埃拉托斯特尼筛法是用来产生质数的演算法，幸运数用的筛法与其类似，但是是依据整数在剩下数字数列中的位置来判断。

幸运数是在1956年在Gardiner, Lazarus、尼古拉斯·梅特罗波利斯以及斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆所著的论文中提到了。他们在同一篇论文中也提到了另一个筛“Josephus Flavius之筛”，原因是该筛法和约瑟夫斯问题的计数游戏很类似。

幸运数的一些性质和质数类似，例如也有类似质数定理的渐近特性，有个版本的哥德巴赫猜想是针对幸运数的扩展。有无限多个幸运数。孪生素数和孪生幸运数出现的频率也相当。不过，若L_n代表第n个幸运数，p_n是第n个质数，则当n够大时，L_n > p_n。

因为幸运数和质数的一些类似性质，有些数学家认为用其他的筛法也可以产出有类似性质的整数数列，不过有关此一猜想，目前还没有足够的理论基础。

筛法

示明筛选幸运数过程的动画，其中红色的数字为幸运数。

由一组由1开始的数列为例：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...

先将所有偶数删去，只留下奇数：

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,...

然后把数列中的第$2$个数字(设该数字为$x$)的倍数对应的数删除，即把所有第$nx,x\in \mathbb {Z^{+}}$个数删除，例如上述例子中，第$2$数字是$3$，所以删去所有第$3n$个数：

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25,...

新数列的第$3$项(每次都加上$1$)为$7$，因此将新数列的第$7n$个数删除：

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25,...

若一直重复上述的步骤，最后剩下的数就是幸运数 A000959:

1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99......

幸运素数

幸运素数是既是素数又是幸运数的数。

最小的几个幸运素数为 A031157： 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127……

目前猜想有无穷个幸运素数。