代数Riccati方程

代数Riccati方程（algebraic Riccati equation）是最优控制的非线性方程，和连续时间或是离散时间下，无限时间（infinite-horizon）的最优控制有关。

标准的代数Riccati方程如下：

连续时间代数Riccati方程（CARE）：

$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0\,$

离散时间代数Riccati方程（DARE）：

$P=A^{T}PA-(A^{T}PB)(R+B^{T}PB)^{-1}(B^{T}PA)+Q.\,$

P是未知数的n×n对称矩阵，A、B、Q及R是已知实系数矩阵。

一般而言此方程式有许多的解，不过若有存在稳定解的话，希望可以找到稳定解。

名称的起源

此方程名称中有Riccati，是因为和Riccati方程的关系。连续时间代数Riccati方程（CARE）可以由相关矩阵值的Riccati微分方程的非时变解来验证。离散时间代数Riccati方程（DARE）可以由矩阵值的Riccati微分方程的非时变解来验证（类似离散时间LQR下的Riccati微分方程）。

离散时间的代数Riccati方程

在无限时间的最佳控制问题中，关注的是一些变数在相当时间之后的值，因此需在现在选定控制变数的值，让系统在之后的时间都在最佳状态下运作。控制变数在任意时间下的最佳值可以用Riccati方程的解以及状态变数当时的观测值求得。若观测变数及控制变数都不只一个，Riccati方程就会是矩阵方程。

代数Riccati方程可以决定无限时间下非时变LQR控制器的解，以及无限时间下非时变LQG控制的解。这两个是控制理论中的基础问题。

典型的离散时间LQR问题，是要最小化以下的函数

$\sum _{t=1}^{T}(y_{t}^{T}Qy_{t}+u_{t}^{T}Ru_{t})$

其状态方程如下

$y_{t}=Ay_{t-1}+Bu_{t},$

其中 y 是 n × 1 的状态变数向量，u 是 k × 1 的控制变数向量，A 是 n × n 的状态递移矩阵，B 是 n × k 的控制系数矩阵，Q (n × n) 是对应半正定状态损失函数矩阵，R (k × k) 是对应正定的控制损失函数矩阵。

从最后时间往前的推导可以找到每一个时间的最佳控制解

$u_{t}^{*}=-(B^{T}P_{t}B+R)^{-1}(B^{T}P_{t}A)y_{t-1},$

其中对应正定cost-to-go矩阵 P 会依下式，配合$P_{T}=Q$，以逆向时间推导

$P_{t-1}=Q+A^{T}P_{t}A-A^{T}P_{t}B(B^{T}P_{t}B+R)^{-1}B^{T}P_{t}A,\,$

这个就是离散时间的代数Riccati方程。P的稳态解和和T趋近无限大时的无限时间问题有关，可以将动态方程反复迭代直到收敛，来求得P的稳态解，之后再将动态方程中的时间标注移除，来确认稳态解是否正确。

求解

若代数Riccati方程存在稳定解，求解器一般会设法找到唯一的稳定解。稳定解的意思是指用此解控制相关的LQR系统，可以使闭回路的系统稳定。

针对CARE，其控制律为

$K=R^{-1}B^{T}P$

闭回路递移矩阵为

$A-BK=A-BR^{-1}B^{T}P$

其稳定的充份必要条件是所有的特征值都有负的实部。

针对DARE，其控制律为

$K=(R+B^{T}PB)^{-1}B^{T}PA$

闭回路递移矩阵为

$A-BK=A-B(R+B^{T}PB)^{-1}B^{T}PA$

其稳定的充份必要条件是所有的特征值在复数平面的单位圆内。

代数Riccati方程的解可以用Riccati方程的的迭代或是矩阵因式分解求得。离散时间问题的一种迭代方式是由有限时间问题下的动态Riccati方程，每一次迭代时，矩阵中的值都是从最终时间往前一段有限时间内的最佳解，若进行无限长的迭代。就会分敛到特定矩阵，是无限时间内的最佳解。

针对大型系统，也可以用找特征分解的方式求解。针对CARE，可以定义汉弥尔顿矩阵

$Z={\begin{pmatrix}A&-BR^{-1}B^{T}\\-Q&-A^{T}\end{pmatrix}}$

因为$\scriptstyle Z$是汉弥尔顿矩阵，若在虚轴上没有特征值，则会有恰好一半的特征值会有负的实部。若定义$\scriptstyle 2n\times n$矩阵，其纵排（column）形成对应子空间的基底，表示为区块矩阵的形式，如下所示

${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$

则

$P=U_{2}U_{1}^{-1}$

是Riccati方程的解。而且$\scriptstyle A-BR^{-1}B^{T}P$的特征值即为$\scriptstyle Z$特征值中有负实部的特征值。

针对DARE，若$A$是可逆矩阵，可以定义辛矩阵

$Z={\begin{pmatrix}A+BR^{-1}B^{T}(A^{-1})^{T}Q&-BR^{-1}B^{T}(A^{-1})^{T}\\-(A^{-1})^{T}Q&(A^{-1})^{T}\end{pmatrix}}$

因为$\scriptstyle Z$是辛矩阵，若在单位圆圆周上没有特征值，则会有恰好一半的特征值会在单位圆内。若定义$\scriptstyle 2n\times n$矩阵，其纵排（column）形成对应子空间的基底，表示为区块矩阵的形式，如下所示 则

$P=U_{2}U_{1}^{-1}$

是Riccati方程的解。而且$\scriptstyle A-B(R+B^{T}PB)^{-1}B^{T}PA$的特征值即为$\scriptstyle Z$特征值中，在单位圆内的特征值。

相关条目

• 李亚普诺夫方程

参考资料

• Peter Lancaster; Leiba Rodman, Algebraic Riccati equations, 牛津大学出版社: 504, 1995, ISBN 0-19-853795-6 
• Alan J. Laub, A Schur method for solving algebraic RIccati equations (PDF), [2020-02-21], （原始内容存档 (PDF)于2016-10-24） 

外部链接

• CARE solver help of MATLAB Control toolbox.
• DARE solver help of MATLAB Control toolbox.
• Online CARE solver for arbitrary sized matrices.
• Python CARE and DARE solvers.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathematica function to solve the continuous-time algebraic Riccati equation.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathematica function to solve the discrete-time algebraic Riccati equation.（页面存档备份，存于互联网档案馆）