8字型线

8字型线

8字型线（figure-eight curve）也称为赫罗诺双纽线（lemniscate of Gerono）或惠更斯双纽线（lemniscate of Huygens），是四阶、几何亏格为0的代数曲线，其外形为类似8或是无限大符号的双纽线。方程式为

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.$

卡米尔-克里斯托夫·赫罗诺曾研究过此一曲线。

因为曲线的亏格为零，因此可以用有理函数来参数化，其中一种参数化的结果为

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

另一种表示方式为

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$

可以看到这种双纽线也是利萨茹曲线中的一种特例。

8字型线的对偶曲线（参见Plücker公式）和8字型线的特性不同，其方程式为

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

8字型线的对偶曲线

参考资料

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 124. ISBN 0-486-60288-5. 

外部链接

• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Figure Eight Curve, MacTutor数学史档案 （英语）