高合成数

以古氏积木为例，说明前四个高合成数：1, 2, 4, 6

高合成数（highly composite number）指一类整数，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。这个词是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所创建。但是让-皮埃尔·卡汗认为柏拉图已有提出此一概念，柏拉图认为城市理想的人口数为5040，因为这个数的因子数量多过任何一个比小于它的数。

以数字6为例，小于6的数字中，因子最多的数是4，有3个因子（1,2,4），而6有4个因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。

高合成数的名称容易让人误以为其中都是合成数，其实前二个高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为：

	1,	2,	4,	6,	12,	24,	36,	48,	60,	120,	180,	240,	360,	720,	840,	1260,	1680,	2520,	5040,	7560,	A002182
正因子个数	1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	10,	12,	16,	18,	20,	24,	30,	32,	36,	40,	48,	60,	64,	A002183

高度合成数有无限个。为了证明这点，可用反证法。假设$n$是最大的高度合成数。显然$2n$比$n$有更多因子，所以$2n$才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。

大于6的高度合成数亦是丰数。

这些数常见于量度系统，在工程设计亦很常用，因为它们在分数计算时很方便。

若 Q(x)表示所有小于或等于x的高度合成数的数目，则存在两个均大于1的常数$a,b$，使得∶

$\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b}\,.$

相关条目

• Superior highly composite number
• 高欧拉商数
• 约数表
• 欧拉函数
• Round number
• 光滑数

外部的连结

• 埃里克·韦斯坦因. Highly Composite Number. MathWorld. 
• Algorithm for computing Highly Composite Numbers
• First 10000 Highly Composite Numbers
• Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Online Highly Composite Numbers Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）