隶属函数

隶属函数（membership function）也称为归属函数或模糊元函数，是模糊集合中会用到的函数，是一般集合中指示函数的一般化^[1]。指示函数可以说明一个集合中的元素是否属于特定子集合。一元素的指示函数的值可能是0或是1，而一元素的隶属函数会是0到1之间的数值，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”（degree of truth）。

例如质数为一集合，整数3属于质数，其指示函数为1，整数4不属于质数，其指示函数为0。但针对模糊集合，可能不会有如此明确的定义，假设胖子是模糊集合，可能体重80公斤的人其隶属函数为0.9，体重70公斤的人其隶属函数为0.8。

隶属函数数值是在0到1之间，看似类似几率，但两者是不同的概念。

隶属函数最早是由卢菲特·泽德在1965年第一篇有关模糊集合的论文中提及，他在模糊集合的论文中，提出用值域在0到1之间的隶属函数，针对定义域中所有的数值定义。

定义

针对集合 $X$ ，集合 $X$ 上的隶属函数是将集合 $X$ 映射到单位实数区间 $[0,1]$ 的函数。

$X$ 集合上的隶属函数对应 $X$ 集合中的模糊子集。对应模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的隶属函数一般会用 $\mu _{A}$ 来表示。针对集合中的元素 $X$ ， $\mu _{A}(x)$ 的数值称为 $x$ 对应模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的隶属度，表示符合模糊集合 ${\tilde {A}}$ 的程度。0表示元素 $x$ 不是模糊集合的元素，1表示元素 $x$ 是模糊集合的元素，0到1之间的值表示此元素部分符合模糊集合。

模糊集合的隶属函数

有时^[2]会用一个更通用的定义，隶属函数的值可以是任意的固定代数或是数学结构中取值 $L$ ，一般会要求 $L$ 至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0, 1]之间的隶属函数此时会称为[0, 1]-值隶属函数。

容度

隶属函数的一个应用是在决策理论中的容度（capacity）。

在决策理论中，容度定义为函数 $\nu$ ，其定义域S是某个集合的子集，值域为 $[0,1]$ ，函数 $\nu$ 满足集合定义上的单调而且正规化（也就是 $\nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1$ ）。这是广义的几率量测（英语：Probability measure），其中可数可加性的概率公理不一定要成立。容度用来表示某一事件可能性的量测，而特定结果下，其容度的期望值可以对容度作Choquet积分（英语：Choquet integral）求得。

参考资料

^ Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2.
^ 最早是Goguen (1967).

参考书籍

Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174

[Ross2005-1] Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2.

[2] 最早是Goguen (1967).

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定义

容度

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参考资料

参考书籍