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方程求解

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数学中的方程求解是指找出哪些(可能是函数集合)可以使一个方程成立,或是指出这様的解不存在。方程是两个用等号相连的数学表示式,表示式中有一个或多个未知数,未知数为自由变数,解方程就是要找出未知数要在什么情形下,才能使等式成立。更准确的说,方程求解不一定是要找出未知数的值,也有可能是将未知数以表示式来表示。方程的解是一组可以符合方程的未知数,也就是说若用方程的解来取代未知数,会使方程变为恒等式

例如方程的解为,因为若将方程中取代为,方程会变成恒等式。也可以将视为未知数,解则为。也可以将都视为未知数,此时会有许多组的解,像是或是等,所有满足的都是上述方程的解。

依问题的不同,方程求解可能只需要找到一组可以满足方程的解,也有可能是要找到所有的解(解集合英语Solution set)。有时方程会存在许多解,但要找到某种最佳解,这类的问题称为最佳化问题,找出最佳化问题的解一般不视为方程求解。

有些情形下,方程求解会需要找到解析解,也就是以解析表达式来表达的解。有些情形下,方程求解只需要找到数值解,也就是数值分析的方法求解近似值。许多方程不存在解析解,或是没有简单形式的解析解,例如五次方程以及更高次的代数方程,不存在根式解(用有限次的四则运算及根号组合而成的解析解),这是由数学家尼尔斯·阿贝尔证明的[1]

简介

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考虑一个具一般性的例子,有一个以下的方程:

,

其中为未知数,而为常数。其解为反像集合的成员

其中为函数定义域。注意解集合可能为空集合(没有解)、单元素集合(唯一解)、有限个元素的集合及无限多个元素的集合(有无限多的解)。

例如,以下的方程:

其未知数为, ,可以在等式二侧同减,得到以下的式子:

以此例而言,方程不会只有唯一解,方程解的个数有无限多个,可以写为以下的集合

.

其中一个特殊解为,而也是其解。解集合描述一个三维空间中,恰好穿过上述三个点的平面。

解集合

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解集合英语solution set为空集合,表示不存在使得以下方程成立

,

其中为一特定常数。

例如考虑一个经典的单变数例子,考虑定义域整数的平方函数

,

考虑以下方程

.

其解集合为,是空集合。因为2不是任何整数的平方,因此不可能找到整数可以使以上方程成立。但若修改函数的定义域,将其定义域改为所有实数,则上式有二个解,其解集合为

.

有些方程的解集合可能形成一个平面曲面。例如在学习基础数学时,有提及形式为的方程,其中, , 和都是实数的常数,且至少有一个不为零,其解集合形成向量空间中的一条直线。不过有些解集合不易用图解表示,例如, , , , and 为实数的常数)的解集合会形成超平面

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参考资料

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  1. ^ 阿米尔·艾克塞尔(Amir D. Aezel). 費馬最後定理. 台北: 时报出版. 1998: p.87. ISBN 957-13-2648-8.