圆柱坐标系(英语:cylindrical coordinate system)是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标 专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ,径向距离、方位角、高度,分别标记为 。
如图右,P 点的圆柱坐标是 。
- 是 P 点与 z-轴的垂直距离。
- 是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。
- 与直角坐标的 等值。
圆柱坐标系的记号并不统一。ISO标准31-11推荐(ρ, φ, z),这里的ρ是径向距离,φ是方位角,而z是高度。但是,径向距离也常表示为r[1]或s,方位角也常表示为θ或t,高度坐标也常表示为h或x(如果圆柱轴被认为是水平的)或任何特定于上下文的字母。
三维空间里,有许多各种各样的坐标系。圆柱坐标系只是其中一种。圆柱坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。
使用以下方程式,可以从直角坐标变换为圆柱坐标:
- 、
- 、
- 。
特别注意,当求取方位角时,必须依照 所处的象限来计算正确的反正切值。
相反地, 可以从圆柱坐标变换为直角坐标:
- 、
- 、
- 。
使用以下方程式,可以从球坐标变换为圆柱坐标:
- 、
- 、
- 。
相反地, 可以从圆柱坐标变换为球坐标:
- 、
- 、
- 。
圆柱坐标系的坐标因子分别为
- 、
- 、
- 。
在许多关于圆柱坐标系的问题中,我们时常需要知道线元素与体积元素的方程式;用这些方程式来求解关于径长或体积的积分问题。线元素是
- 。
面积元素是
- 。
体积元素是
- 。
劈形算符表示为
- 。
拉普拉斯算子是
- 。
其它微分算子,像 , ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。
圆柱坐标常被用来分析,选用 z-轴为对称轴,有轴对称特性的物体。例如,一个无限长的圆柱,具有直角坐标方程式 ;用圆柱坐标来表示,有一个非常简易的方程式 。这也是圆柱坐标系名称的由来。
- ^ David K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics. 2014: 第33页. ISBN 9781292026565.