User:Doraencyclopedia/sandbox/2

首先要先將四次方程因式分解成兩個二次多項式，同時增加四個變數$p,q,r,s$：

${\begin{array}{lcl}0=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=&(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)\\&=&x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{array}}$

比較係數，得到一個聯立方程組

${\begin{array}{lcl}b&=&p+r\\c&=&q+s+pr\\d&=&ps+qr\\e&=&qs\end{array}}$

因此若一開始簡化成低級四次方程式，就可使$b=0$，這時解出來後的$x-b/4$就是原先的解$x$了。於是$r=-p$，聯立方程組就變成

${\begin{array}{lcl}c+p^{2}&=&s+q\\d/p&=&s-q\\e&=&sq\end{array}}$

現在需要將$s$與$q$消去，這只要通過下列式子：

${\begin{array}{lcl}(c+p^{2})^{2}-(d/p)^{2}&=&(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=&4sq\\&=&4e\end{array}}$

設$P=p^{2}$，並將上式兩邊同乘以$P$，整理後變成一個三次方程

$P^{3}+2cP^{2}+(c^{2}-4e)P-d^{2}=0\,$

而三次方程我們已會解出。接著：

${\begin{array}{lcl}r&=&-p\\2s&=&c+p^{2}+d/p\\2q&=&c+p^{2}-d/p\end{array}}$