頻率取樣法

對理想濾波器的頻率響應取樣。由下式 $H(k)=H_{d}(e^{j\omega })|_{\omega ={\frac {2\pi }{N}}k},k\in [0,N-1]$ 即可設計不同k點(離散的頻率點) 之值。舉例，將較小的k對應的響應值設計為1，較大的k對應的響應值設計為0,可得低通濾波器響應；將較小的k對應的響應值設計為0，較大的k對應的響應值設計為1,可得高通濾波器響應。

方法介紹[编辑]

給定一個理想濾波器的離散時間傅立葉轉換 $H_{d}(f)$ ， $h[n]$ 則為我們要設計的有限脈衝響應濾波器的脈衝響應，在 $n\in [0,N-1]$ 區間設計。考慮 $R(f)$ 是 $r[n]=h[n+P]$ 的離散時間傅立葉轉換。

此方法基本精神要求為

${\begin{aligned}R({\frac {m}{N}}f_{s})=H_{d}({\frac {m}{N}}f_{s}),&\forall m\in 0,1,2,...N-1\\\\&f_{s}:sampling\ frequency\end{aligned}}$

若以 normalized frequency $F={\frac {f}{f_{s}}}$ 對公式進行變數變換則 $R({\frac {m}{N}})=H_{d}({\frac {m}{N}})$

步驟一[编辑]

取樣 normalized過後的理想濾波器的離散時間傅立葉轉換 $H_{d}({\frac {m}{N}}),\forall m\in 0,1,2,...N-1$

步驟二[编辑]

求 $H_{d}({\frac {m}{N}})$ 的逆離散傅立葉轉換(IDFT)(inverse discrete Fourier transform) $r_{1}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{m=0}^{N-1}H_{d}({\frac {m}{N}})exp(j{\frac {2\pi m}{N}}n)$

步驟三[编辑]

考慮 $N$ 的奇偶情形

若 $N$ 是奇數，則

$r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=0,1,...,k\ \ k={\frac {N-1}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

若 $N$ 是偶數，則 $r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=1,...,k\ \ k={\frac {N}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

步驟四[编辑]

我們據此法得到的有限響應濾波器 $h[n]$ ，即

$h[n]=r[n-k]$

優點[编辑]

簡單且直觀

缺點[编辑]

所得到的有限響應濾波器並非最優化的，有限響應造成的漣波大小介於用MSE和MINIMAX方法設計的濾波器之間

難以跟權重函數結合