在概率论中,条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说,这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。
条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。
设和是离散随机变量,则在给定事件条件时的条件期望是的在的值域的函数
其中,是处于的值域。
如果现在是一个连续随机变量,而仍然是一个离散变量,条件期望是:
其中,是在给定下的条件概率密度函数。
给定是一个定义在概率空间上的随机变量,是的一个子σ-代数,且。
则定义在给定下的条件期望是满足以下两个条件的随机变量:
- 是上的可测函数;
- 。
在这一定义下,是存在且在几乎必然的意义下唯一的。[1]
- ^ Rick Durrett, Richard. Probability : theory and examples Fifth. Cambridge: Cambridge University Press. : 178–180. ISBN 9781108591034.