有限生成

在抽象代數中，有限生成意謂一個代數結構中存在有限多個元素 $x_{1},\ldots ,x_{n}$，使得每個元素都能由這些元素的代數運算生成；或者形式地說，謂該結構能表成有限個生成元的自由對象的商（在適當的範疇內）。這類對象有時也稱為有限型的。

以下是常見的特例：

• 有限生成群：若群 $G$ 中存在一個有限子集 $S$，使得 $G$ 中的任一元素都能以 $S$ 的元素及其逆元的連乘積表示，則稱 $G$ 為有限生成群。
• 有限生成阿贝尔群
• 有限生成模：設 $R$ 為環，若左 $R$-模 $M$ 中存在有限多個元素 $m_{1},\ldots ,m_{n}$，使得 $M=Rm_{1}+\cdots +Rm_{n}$，則稱 $M$ 為有限生成模；對右 $R$-模的定義類此。有限維向量空間是其特例。
• 有限生成代數：設 $R$ 為交換環，若 $R$-代數 $A$ 中存在有限多個元素 $a_{1},\ldots ,a_{n}$，使得每個 $A$ 的元素都能表成多項式 $f(a_{1},\ldots ,a_{n})$，其中 $f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$。