希爾伯特第十六問題

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份：

哈纳克在1876年證明了一個平面上 $n$ 次實代數曲線最多有 ${\frac {n^{2}-3n+4}{2}}$ 個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈纳克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

給定二元 $n$ 次實多項式 $P(x,y),Q(x,y)$ ，考慮下述平面上的動力系統

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.$

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

总而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線。

進展

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士伊万·彼得罗夫斯基与葉夫根尼·蘭迪斯解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，中国科学技术大学研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明^[1]^[2]。因此第十六问题至今仍未解决。

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