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局部性质

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在数学中,一个现象如果是局部的,它在足够小的或者任意小的点的邻域内显现。

单独一个空间的性质

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一个拓扑空间被叫做展现局部性质,如果这个性质展现在“临近”的每一点对于下面不同的情况:

  1. 每一点有一个邻域展现出这个性质;
  2. 每个点有一组邻域基的集合显现这个性质。

第二种情况一般强于第一种情况,并且一定要小心区分这两种情况的区别。举个例子,一些变量在定义在局部紧性而引发出的不同情况对于局部的理解。

给一些等价概念(比如,同胚,等距变换)在拓扑空间之间,两个空间是局部等价的,如果第一个空间的每一点有一个邻域,这个邻域等价于第二个空间的一个邻域的话。

举个例子,圆和线是十分不同的对象。一个人不能将圆拉伸使得圆看起来像直线在不造成缺口的情况下,也不能挤压直线成为圆的形状不通过部分重叠的情况下。

但是,一小部分的圆能够拉伸同时压平能够看起来像一小部分的直线。因为这个原因,我们也许会说圆和直线局部等价。

简单的,球面和平面是局部等价的。一个足够小的观察者站在球的表面(比如,一个人站在地球上)将会发现这时不能区别此时在平面上还是球面上。

在阶为无限(拥有无限个元素)的群

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读一个无限群,“邻域”理解成一个有限生成子群。一个无限群被叫做拥有局部性质P,如果每一个有限生成子群拥有性质P。举个例子,一个群是局部有限的,如果每一个有限生成子群是有限的。一个群是局部可解的如果每一个有限生成子群是可解群

有限群中的性质

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对于有限群,一个“小邻域”被理解为一个素阶子群,一般叫做局部子群,一个不平凡的正规P阶子群。一个性质被叫做是局部的如果它能够被检视在局部子群上。

交换环上的性质

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对于交换环,代数几何上的观念使得它自然的拥有“小邻域”在环被看做是素理想。一个性质被叫做是局部的如果他能够在局部的环上被检视到。举个例子,平坦模是交换环上的局部性质,但是自由模则不是。参见模的局部化