射影表示

在表示论中，群 $G$ 在域 $F$ 上的向量空間 $V$ 上的射影表示指从 $G$ 到射影线性群 $PGL$ 的一個群同態

G\to \mathrm {PGL} (V):=\mathrm {GL} (V)/F^{*}

其中 $\mathrm {GL} (V)$ 表示在域 $F$ 上向量空間 $V$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 $F^{*}$ 視為純量積映射 $v\mapsto cv$ ，其中 $c\in F^{*}$ 。

若 $V$ 維度有限，選定基底後可將 $\mathrm {PGL} (V)$ 理解為 $\mathrm {PGL} (n,F)$ ，即 $n\times n$ 階可逆矩陣對正規子群 $F^{*}\cdot \mathrm {id} _{V}$ 之商群。

對於給定的群表示 $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ，與商映射 $p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題：如何將一個射影表示 ${\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)$ 提升至一個表示 $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ，使得 $p\circ \rho ={\bar {\rho }}$ ？

對於提升問題，通常採取如下進路：取同態 ${\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)$ 與 $p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ 的纖維積，得到一個中心擴張

1\to F^{*}\to {\tilde {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1

其中 ${\tilde {G}}=\{(g,M)\in G\times \mathrm {GL} (V)|p(M)=\rho (g)\}$ 。

這類擴張由群上同調 $H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})$ 分類。若此擴張是平凡的，則 ${\bar {\rho }}$ 可提升至 $G$ 的表示。即使此表示無法提升，仍可退而求其次，藉群上同調研究擴張的性質，例如：擴張對應的上同調類 $\alpha \in H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})$ 滿足 $n\alpha =0$ 若且唯若 ${\bar {\rho }}$ 可提昇為某個中心擴張 $1\to \mathbf {\mu } _{n}\to {\hat {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1$ 的 ${\hat {G}}$ 的表示。

參見