保罗·埃伦费斯特。
在量子力學 裏,埃倫費斯特定理 (Ehrenfest theorem )表明,量子算符 的期望值 對於時間 的導數,跟這量子算符與哈密頓算符 的對易算符 ,兩者之間的關係,以方程式表達為[ 1]
d
d
t
⟨
A
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
A
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }
;
其中,
A
{\displaystyle A}
是某個量子算符 ,
⟨
A
⟩
{\displaystyle \langle A\rangle }
是它的期望值 ,
H
{\displaystyle H}
是哈密頓算符 ,
t
{\displaystyle t}
是時間,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 。
埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特 命名。在量子力學的海森堡繪景 裏,埃倫費斯特定理非常顯而易見;取海森堡方程式 的期望值,就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學 的劉維定理 密切相關;劉維定理使用的泊松括號 ,對應於埃倫費斯特定理的對易算符 。實際上,從根據經驗法則,將對易算符換為泊松括號乘以
i
ℏ
{\displaystyle i\hbar }
,再取
i
ℏ
{\displaystyle i\hbar }
趨向於 0 的極限,含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。
假設,一個物理系統的量子態 為
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi (x,\ t)}
,則算符
A
{\displaystyle A}
的期望值對於時間的導數為
d
d
t
⟨
A
⟩
=
d
d
t
∫
Φ
∗
A
Φ
d
x
=
∫
(
∂
Φ
∗
∂
t
)
A
Φ
d
x
+
∫
Φ
∗
(
∂
A
∂
t
)
Φ
d
x
+
∫
Φ
∗
A
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
=
∫
(
∂
Φ
∗
∂
t
)
A
Φ
d
x
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
+
∫
Φ
∗
A
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}}
薛丁格方程 表明哈密頓算符
H
{\displaystyle H}
與時間
t
{\displaystyle t}
的關係為
H
Φ
=
i
ℏ
∂
Φ
∂
t
{\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}}
。
其共軛複數 為
(
H
Φ
)
∗
=
−
i
ℏ
∂
Φ
∗
∂
t
{\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}}
。
因為哈密頓算符是厄米算符 ,
H
∗
=
H
{\displaystyle H^{*}=H}
。所以,
(
H
Φ
)
∗
=
Φ
∗
H
∗
=
Φ
∗
H
{\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H}
。
將這三個方程式代入
d
d
t
⟨
A
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle }
的方程式,則可得到
d
d
t
⟨
A
⟩
=
1
i
ℏ
∫
Φ
∗
(
A
H
−
H
A
)
Φ
d
x
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }
。
所以,埃倫費斯特定理成立:
d
d
t
⟨
A
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
A
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }
。
使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性 地不含時間,則這系統是保守系統 。
從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。
考慮哈密頓算符
H
{\displaystyle H}
:
d
d
t
⟨
H
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
H
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
H
∂
t
⟩
=
⟨
∂
H
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }
。
假若,哈密頓量顯性地不含時間,
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}
,則
⟨
H
⟩
=
H
0
{\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}}
,
哈密頓量是個常數
H
0
{\displaystyle H_{0}}
。
試想一個質量 為
m
{\displaystyle m}
的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量 是
H
(
x
,
p
,
t
)
=
p
2
2
m
+
V
(
x
,
t
)
{\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}
;
其中,
x
{\displaystyle x}
為位置,
p
{\displaystyle p}
是動量 ,
V
{\displaystyle V}
是位勢 。
應用埃倫費斯特定理,
d
d
t
⟨
x
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
x
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
x
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
x
,
H
]
⟩
=
1
i
2
m
ℏ
⟨
[
x
,
p
2
]
⟩
=
1
i
2
m
ℏ
⟨
x
p
p
−
p
p
x
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle }
。
由於
x
p
p
−
p
p
x
=
i
2
ℏ
p
{\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p}
,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:
d
d
t
⟨
x
⟩
=
1
m
⟨
p
⟩
=
⟨
v
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle }
。
這樣,可以得到動量
p
{\displaystyle p}
的期望值。
應用埃倫費斯特定理,
d
d
t
⟨
p
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
p
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle }
。
由於
p
{\displaystyle p}
與自己互相交換,所以,
[
p
,
p
2
]
=
0
{\displaystyle [p,\ p^{2}]=0}
。又在坐標空間裏,動量算符
p
=
ℏ
i
∂
∂
x
{\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}
不含時間:
∂
p
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0}
。所以,
d
d
t
⟨
p
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
,
V
]
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle }
。
將泊松括號展開,
d
d
t
⟨
p
⟩
=
∫
Φ
∗
V
∂
∂
x
Φ
d
x
−
∫
Φ
∗
∂
∂
x
(
V
Φ
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx}
。
使用乘法定則 ,
d
d
t
⟨
p
⟩
=
⟨
−
∂
∂
x
V
⟩
=
⟨
F
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle }
。
在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力
F
{\displaystyle F}
的期望值。
取經典極限[ 2] ,
⟨
∂
V
(
x
)
∂
x
⟩
≈
∂
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}
,則可得到一組完全的量子運動方程式:
d
d
t
⟨
x
⟩
=
⟨
v
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle }
,
d
d
t
⟨
p
⟩
=
−
∂
V
(
⟨
x
⟩
)
∂
⟨
x
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}
。
這組量子運動方程式,精確地對應於經典力學的運動方程式:
d
x
d
t
=
v
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v}
,
d
p
d
t
=
−
∂
V
(
x
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}
。
取「經典極限」,量子力學 的定律 約化為經典力學 的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理 。這經典極限是什麼呢?標記
V
′
(
x
)
{\displaystyle V\,'(x)}
為
∂
V
(
x
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}
。設定
⟨
x
⟩
=
x
0
{\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}}
。泰勒展開
V
′
(
x
)
{\displaystyle V\,'(x)}
於
x
0
{\displaystyle x_{0}}
:
V
′
(
x
)
=
V
′
(
x
0
)
+
(
x
−
x
0
)
V
″
(
x
0
)
+
1
2
(
x
−
x
0
)
2
V
‴
(
x
0
)
+
…
{\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots }
。
由於
⟨
x
−
x
0
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0}
,
⟨
(
x
−
x
0
)
2
⟩
=
σ
x
2
{\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}}
,
⟨
∂
V
(
x
)
∂
x
⟩
≈
V
′
(
x
0
)
+
1
2
σ
x
2
V
″
(
x
0
)
{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})}
。
這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:
一個是量子態對於位置的不可確定性。
另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。