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File:Tautochrone curve.gif

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Tautochrone_curve.gif (300 × 200 像素,檔案大小:102 KB,MIME 類型:image/gif、​循環、​80 畫格、​3.2秒)


摘要

描述

A tautochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point. Here, four points at different positions reach the bottom at the same time.



In the graphic, s represents arc length, t represents time, and the blue arrows represent acceleration along the trajectory. As the points reach the horizontal, the velocity becomes constant, the arc length being linear to time.
日期 2007年5月9日; new version 2009年8月
來源 自己的作品
作者

Claudio Rocchini

rewritten by Geek3
GIF開發
InfoField
 
本GIF graphic使用Matplotlib創作。
原始碼
InfoField

Python code

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf8 -*-

'''
animation of balls on a tautochrone curve
'''

import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches
from matplotlib import animation
from math import *

# settings
fname = 'Tautochrone curve'
width, height = 300, 200
nframes = 80
fps=25

balls = [
{'a':1.0, 'color':'#0000c0'},
{'a':0.8, 'color':'#c00000'},
{'a':0.6, 'color':'#00c000'},
{'a':0.4, 'color':'#c0c000'}]

def curve(phi):
    x = phi + sin(phi)
    y = 1.0 - cos(phi)
    return np.array([x, y])

def animate(nframe, empty=False):
    t = nframe / float(nframes - 1.)
    
    # prepare a clean and image-filling canvas for each frame
    fig = plt.gcf()
    fig.clf()
    ax_canvas = plt.gca()
    ax_canvas.set_position((0, 0, 1, 1))
    ax_canvas.set_xlim(0, width)
    ax_canvas.set_ylim(0, height)
    ax_canvas.axis('off')
    
    # draw the ramp
    x0, y0 = 293, 8
    h = 182
    npoints = 200
    points = []
    for i in range(npoints):
        phi = i / (npoints - 1.0) * pi - pi
        x, y = h/2. * curve(phi) + np.array([x0, y0])
        points.append([x, y])
    
    rampline = patches.Polygon(points, closed=False, facecolor='none',
                       edgecolor='black', linewidth=1.5, capstyle='butt')
    points += [[x0-h*pi/2, y0], [x0-h*pi/2, y0+h]]
    
    ramp = patches.Polygon(points, closed=True, facecolor='#c0c0c0', edgecolor='none')
    
    # plot axes
    plotw = 0.5
    ax_plot = fig.add_axes((0.47, 0.46, plotw, plotw*2/pi*width/height))
    ax_plot.set_xlim(0, 1)
    ax_plot.set_ylim(0, 1)
    for b in balls:
        time_array = np.linspace(0, 1, 201)
        phi_pendulum_array = (1 - b['a'] * np.cos(time_array*pi/2))
        ax_plot.plot(time_array, phi_pendulum_array, '-', color=b['color'], lw=.8)
    ax_plot.set_xticks([])
    ax_plot.set_yticks([])
    ax_plot.set_xlabel('t')
    ax_plot.set_ylabel('s')
    
    ax_canvas.add_patch(ramp)
    ax_canvas.add_patch(rampline)
    
    for b in balls:
        # draw the balls
        phi_pendulum = b['a'] * -cos(t * pi/2)
        phi_wheel = 2 * asin(phi_pendulum)
        phi_wheel = -abs(phi_wheel)
        x, y = h/2. * curve(phi_wheel) + np.array([x0, y0])
        ax_canvas.add_patch(patches.Circle((x, y), radius=6., zorder=3,
                            facecolor=b['color'], edgecolor='black'))
        ax_plot.plot([t], [1 + phi_pendulum], '.', ms=6., mec='none', mfc='black')
        
        v = h/2. * np.array([1 + cos(phi_wheel), sin(phi_wheel)])
        vnorm = v / hypot(v[0], v[1])
        # in the harmonic motion, acceleration is proportional to -position
        acc_along_line = 38. * -phi_pendulum * vnorm
        ax_canvas.arrow(x, y, acc_along_line[0], acc_along_line[1],
                 head_width=6, head_length=6, fc='#1b00ff', ec='#1b00ff')

fig = plt.figure(figsize=(width/100., height/100.))
print 'saving', fname + '.gif'
#anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=nframes)
#anim.save(fname + '.gif', writer='imagemagick', fps=fps)

frames = []
for nframe in range(nframes):
    frame = fname + '_{:02}.png'.format(nframe)
    animation.FuncAnimation(fig, lambda n: animate(nframe), frames=1).save(
        frame, writer='imagemagick')
    frames.append(frame)

# assemble animation using imagemagick, this avoids dithering and huge filesize
os.system('convert -delay {} +dither +remap -layers Optimize {} "{}"'.format(
    100//fps, ' '.join(['"' + f + '"' for f in frames]), fname + '.gif'))
for frame in frames:
    if os.path.exists(frame):
        os.remove(frame)

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已新增授權條款標題至此檔案,作為GFDL授權更新的一部份。
w:zh:創用CC
姓名標示
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目前2009年8月1日 (六) 13:15於 2009年8月1日 (六) 13:15 版本的縮圖300 × 200(102 KB)Geek3new physically correct version
2007年5月9日 (三) 06:56於 2007年5月9日 (三) 06:56 版本的縮圖300 × 200(602 KB)Rocchini{{Information |Description=Tautochrone curve animation (4 points runs over a cycloid) |Source=Own work |Date=2007-05-09 |Author=Claudio Rocchini |Permission=CC-BY 2.5 }}

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