態疊加原理

在雙縫實驗裏，從光源$\mathrm {a}$傳播出來的相干光子束，照射在一塊刻有兩條狹縫$\mathrm {b}$和$\mathrm {c}$的不透明擋板$\mathrm {S2}$。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏$\mathrm {F}$，用來紀錄到達$\mathrm {F}$的任何位置$\mathrm {d}$的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏$\mathrm {F}$的干涉圖樣。

在量子力學裏，態疊加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。

從數學表述，態疊加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量$A$，而可觀察量$A$的本徵態$|a_{1}\rangle$、$|a_{2}\rangle$分別擁有本徵值$a_{1}$、$a_{2}$，則根據薛丁格方程式的線性關係，疊加態$|\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle$也可以是這量子系統的量子態；其中，$c_{1}$、$c_{2}$分別為疊加態處於本徵態$|a_{1}\rangle$、$|a_{2}\rangle$的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量$A$，則測量獲得數值是$a_{1}$或$a_{2}$的機率分別為$|c_{1}|^{2}$、$|c_{2}|^{2}$，期望值為$\langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}$。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態$|0\rangle$與$|1\rangle$的線性疊加。這兩個基底態$|0\rangle$、$|1\rangle$的本徵值分別為$0$、$1$。

理論

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 $|f_{1}\rangle$或$|f_{2}\rangle$ ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合$|f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle$，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，$c_{1}$、$c_{2}$是複值係數，為了歸一化$|f\rangle$，必須讓$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$。

假設$\theta$為實數，則雖然$e^{i\theta }|f_{2}\rangle$與$|f_{2}\rangle$標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，$|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle$、$|f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle$分別標記兩種不同的量子態。但是，$|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle$和$e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )$都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。

電子自旋範例

設想自旋為$1/2$的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態$|\uparrow \rangle$與下旋態$|\downarrow \rangle$，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

$|\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle$；

其中，$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分別是複值係數，為了歸一化$|\psi \rangle$，必須讓$|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$。

這是最一般的量子態。係數$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

$p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}$、

$p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}$。

總機率應該等於1： $p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

$|\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle$。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

$p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}$、

$p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}$。

再次注意到總機率應該等於1：

$p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1$。

非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\hbar$是約化普朗克常數，$\Psi (\mathbf {r} ,t)$是粒子的波函數，$\mathbf {r}$是粒子的位置，$t$是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$；

其中，$\mathbf {k}$是波向量，$\omega$是角頻率。

代入薛丁格方程式，這兩個變數必須遵守關係式

${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega$。

由於粒子存在的機率等於1，波函數$\Psi (\mathbf {r} ,t)$必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k}$；

其中，積分區域$\mathbb {K}$是$\mathbf {k}$-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

$\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k$；

其中，振幅$A(k)$是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x$；

其中，$\Psi (x,0)$是在時間$t=0$的波函數。

所以，知道在時間$t=0$的波函數$\Psi (x,0)$，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數$\Psi (x,t)$。

參見

• 疊加原理
• 波函數
• Delta 位勢阱
• Delta 位勢壘

參考文獻

• Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, 121: 580–590 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, ISBN 0471164321.
• Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
• Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, volume II, Open Court, La Salle IL.
• Feynman, R. P., Leighton, R.B., Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Merzbacher, E. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
• Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Wheeler, J. A.; Zurek, W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.