巴蘇定理
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在統計學中,巴蘇定理(Basu's Theorem)指出任何有界完全的充分統計量與任何輔助統計量獨立。 這是Debabrata Basu於1955年發現的結論。[1]
定理陳述
[編輯]設是可測空間上的一族分布。如果是的充分且有界完全的統計量,是關於的輔助統計量,那麼獨立於。
證明
[編輯]對任意鮑萊耳集,構造函數。注意到記號是合理的,因為這一函數不取決於。第一項不取決於是因為的充分性,第二項不取決於是因為是關於的輔助統計量。注意到有界並且期望值為0。因此,的有界完全性保證了幾乎處處為0。由於可以是任意鮑萊耳集,定理得證。
例子
[編輯]常態分布(變異數已知)的樣本期望值獨立於樣本變異數
[編輯]讓 X1, X2,..., Xn 是獨立同分布的常態分布隨機變數,其中變異數已知,均值未知。
關於參數,可以證明樣本均值
是充分完全統計量,並且樣本變異數
是輔助統計量,即其分布並不依賴於。
因此,巴蘇定理指出二者獨立。
儘管上述證明是藉助變異數已知均值未知的常態分布模型完成的,這一結論並不只在該情況下成立。實際上,無論變異數或均值已知與否,常態分布的樣本均值和樣本變異數都是獨立的。更進一步,常態分布是唯一具有這一性質的分布[2]。
參考文獻
[編輯]- ^ Basu, D. On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic. Sankhyā. 1955, 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. MR 0074745. Zbl 0068.13401.
- ^ Geary, R.C. The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1936, 3 (2): 178–184. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. doi:10.2307/2983669.