反對稱張量

數學和理論物理學中，若一張量的符號（+/−）隨著指標子集的互換而變化，則稱此向量在指標子集上是反對稱的（或相對於指標子集反對稱）。^[1]^[2]指標子集一般必須是全協變或全反變的。

例如， $T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$ 當張量對前三個指標反對稱時成立。

若張量在交換每對指標時符號都變化，就稱此向量是全反對稱的。k階全反對稱協變張量場可稱作微分k-形式，全反對稱反變向量場可稱作k-向量場。

反對稱張量與對稱張量

對指標i、j反對稱的張量A與對指標i、j對稱的張量B的縮並都是0。

對於包含 $U_{ijk\dots }$ 的一般張量U和一對指標i、j，U可分為對稱部分和反對稱部分：

$U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$		（對稱部分）
$U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$		（反對稱部分）

其他指標對也可給出類似定義。正如「部分」暗示的，對給定的一對指標，張量是其對稱部分和反對稱部分之和，例如 $U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$

符號

反對稱可用方括號表示。例如，對任意維的2階協變張量M， $M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$ 對3階協變張量T， $T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$

在任意2維和3維中，都可以寫成 ${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$ 其中 $\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$ 是廣義克羅內克δ函數，我們使用愛因斯坦求和約定對同類指標求和。