环面

在几何上，一个环面是一个手镯形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个手镯、甜甜圈、呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

几何

圆环面可以参数式地定义为：

x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,

y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,

z(u,v)=r\sin {v}\,

其中

u, v ∈ [0, 2π],

R是管子的中心到画面的中心的距离，

r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是

\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}

该圆环面的表面积和内部体积如下

A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,

V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,

根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。

拓扑

拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S¹ × S¹。上述曲面，若采用R³诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形 $ABA^{-1}B^{-1}$ 。

环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：

\pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}

直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。

高维度的环面

环面很容易推广到任意维。n维标准环面可以定义为 n 个标准圆的乘积：

\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}

上面所述的环面就是 $n$ 维环面。 $1$ 维环面就是圆。 $3$ 维环面很难描述。和 $2$ 维环面一样， $n$ 维环面可以表述为 $\mathbb {R} ^{n}$ 在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即， $n$ 维环面是 $\mathbb {R} ^{n}$ 模(modulo)整数格点 $\mathbb {Z} ^{n}$ 的群作用（该作用就是向量和）。等价地说， $n$ 维环面是 $n$ 维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。

$n$ 维环是 $n$ 维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。

环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。

$n$ 维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。 $n$ 维环面的 $k$ 阶同调群是 $n$ 取 $k$ 阶的自由可交换群。因此可以推出 $n$ 维环面的欧拉示性数是0。上同调环H^·(Tⁿ,Z)可以等同为Z-模 $\mathbb {Z} ^{n}$ 上的外代数，其生成元为 $n$ 非平凡闭链的对偶。

环面着色

如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和四色问题不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的：

参见

外部链接

环面的建立（页面存档备份，存于互联网档案馆）位于网站
更多环的图像（页面存档备份，存于互联网档案馆） (位于趣味数学（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
气泡圈的图像和视频位于David Whiteis的BubbleRings.com