拉比判別法

拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判斷比幾何級數收斂得慢的級數時，比柯西判別法、達朗貝爾判別法更有效。

定理

對任意級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

• 如果存在 $r>1$ ，$n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}$ ,使得當 $n>n_{0}$ 時，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r$，

那麼級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$絕對收斂。

• 如果對充分大的 $n$ ，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1$，

那麼級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$發散。

極限形式

對任意級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ，令

$\lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,$

• $r>1$ 時級數絕對收斂
• $r<1$ 時說明級數 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ 發散(沒有絕對收斂)，原級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 可能收斂也可能發散。
• $r=1$ 時級數可能收斂也可能發散

證明

• 當 $r>1$ 時，存在 $p$ 使得 $r>p>1$. 則:

$\lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)$

$\Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad$ 對充分大的 $n$

$\Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}$

$\Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}$

因為當 $p>1$ 時級數 $\sum n^{-p}$ 收斂，故級數 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ 在 $r>1$ 時收斂，即級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 絕對收斂。

• 當 $r<1$ 時，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,$，則

$\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}$，即

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}$

由於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 發散，故 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 發散。

例子

當 $r=1$ 時無法判斷其斂散性，舉例如下:

已知有

${\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})$

令 $a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}$

已知當 $\alpha >1$ 時，$\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty$ ；當 $\alpha \leq 1$ 時，$\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty$ ，然而由上式得

$n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )$

這說明當 $r=1$ 時，拉比判別法無效。