共軛複數

複平面上$z$和它的共軛複數${\overline {z}}$的表示。

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算

正式定義

複數$z=a+bi$（$a,b\in \mathbb {R}$）的共軛定義為：

${\overline {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi$

有時也表為：

$z^{*}={(a+bi)}^{*}=a-bi$

如：

${\overline {3-2i}}=3+2i$

${\overline {7}}=7$（實數的共軛為自身）

${\overline {i}}=-i$（純虛數的共軛）

將複數理解為複平面的一點的話，則幾何上，複共軛是此點以實數軸為對稱軸的反射。

性質

對於複數$z,w$：

${\begin{array}{l}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\\{\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\\{\overline {zw}}={\overline {z}}\,{\overline {w}}\\{\overline {\left({\dfrac {z}{w}}\right)}}={\dfrac {\overline {z}}{\overline {w}}}&(w\neq 0)\\{\overline {z}}=z&(z\in \mathbb {R} )\\{\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}&(n\in \mathbb {Z} )\\|{\overline {z}}|=|z|\\|{\overline {z}}|^{2}=z{\overline {z}}\\{\overline {({\overline {z}})}}=z\\z^{-1}={\dfrac {\overline {z}}{|z|^{2}}}&(z\neq 0)\end{array}}$

一般而言，如果複平面上的函數$\phi$能表為實係數冪級數，則有：

$\phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}$

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：

${\begin{array}{l}\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\\\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}&(z\neq 0)\end{array}}$

透過歐拉公式，在極坐標表法下，複數共軛可以寫成

${\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }$

其它觀點

複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為$\tau$，則有$\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )=\{1,\tau \}$。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為$F_{\infty }$。