重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

方程

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：

g(μ) = G⁻¹( (μ/M)^d G(g(M)) ) ,

g(κ) = G⁻¹( (κ/μ)^d G(g(μ)) ) = G⁻¹( (κ/M)^d G(g(M)) )

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相變。 他1982年赢了诺贝尔奖。

块自旋

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为$T$，相互作用的强度使用耦合常数$J$来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为$H(T,J)$。

现在，我们把这个系统分为有着$2\times 2$个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数$T$和$J$不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到$H(T'',J'')$，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数$J$代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

1. $T=0$和$J\to \infty$。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
2. $T\to \infty$和$J\to 0$。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
3. $T=T_{c}$且$J=J_{c}$。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

基本理论

假设有一个可以用状态变量$\{s_{i}\}$和一组耦合常数$\{J_{k}\}$表示的函数$Z$。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换$\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$，${\tilde {s}}_{i}$所包含的数目必须小于$s_{i}$。接下来我们可以把函数$Z$只用${\tilde {s}}_{i}$来表示。如果$\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：$\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$。这一函数可以在$J$空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

举例计算

参见Phi fourth theory（四次交互论； $\phi ^{4}$论）。欧几里得空间的拉氏量是

${\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.$

配分函数或泛函积分是：

$Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].$

通过重正化以及正规化 $\Lambda$： $[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)$

$Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].$

若 $0<b<1$：

${\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}$$\phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}$

所以

$Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].$

介绍 $\phi {\hat {\phi }}$ ：

$Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].$

所以新的拉氏量是${\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )$以及

$Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},$

${\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )$ 不同于${\mathcal {L}}(\phi )$，因为$\lambda ,\phi$ 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory。若 $x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda$.

$\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]$

假设

$\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi$$m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}$$\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}$$B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}$$C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}$

所以

$\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]$

耦合常數的变量为 $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$。耦合常數的演进是动力系统的临界点：

$m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}$

三种耦合

• 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
• 相关耦合（relevant）：耦合增加了
• 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 $d=4$，因为$b<1$所以B和C是无关的，m是相关的，并且$\lambda$是边缘的。

而且$\phi ^{4}$论是可重整化的。

动力系统的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等

其他应用包括：

• 混沌理论
• 湍流
• 分形
• 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation、参见马丁·海雷尔的研究
• 渗流理论

等

参见

• 重整化
• 密度矩陣重整化群
• 临界现象
• 普遍性

扩展阅读

入门教程与历史回顾

• S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
• N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
• D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
• B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
• K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Shirkov, D. V. Fifty years of the renormalization group. CERN Courier. 2001-08-31 [2008-11-12]. （原始内容存档于2008-12-03）. 

相关著作

• T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
• L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
• Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
• Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
• The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ⁴-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆）.